Fordulat

Fordulás (forgás) - egy sík vagy tér mozgása , amelyben legalább egy pont mozdulatlan marad.

Kapcsolódó definíciók

Azt a rögzített pontot, amikor a sík forog , forgási középpontnak nevezzük .
A háromdimenziós tér elforgatásakor rögzített egyenes vonalat forgástengelynek nevezzük .

Helyes és helytelen forgatás

Definíciók

A forgatást akkor nevezzük megfelelőnek , ha megőrzi a tér orientációját .

A sík helyes elforgatásának egy másik definíciója is lehetséges: a sík megfelelő elforgatása olyan mozgás , amelyben egy adott pontból kiinduló összes sugár azonos szögben ugyanabban az irányban (az óramutató járásával megegyezően vagy ellentétes irányban) elfordul.

A forgatást nem megfelelőnek nevezzük, ha nem megfelelő.

A forgás kifejezés gyakran csak a megfelelő forgatást jelenti .

Tulajdonságok

A helytelen elforgatás valamilyen megfelelő forgás és tükörreflexió kompozíciója ( síkban - tengelyirányú szimmetria , páratlan dimenziós térben - középen ).

A tér bármely korlátozott tartományában a megfelelő elforgatása bármely ponthoz képest úgy alakítható ki, hogy a tartomány összes pontja legfeljebb bizonyos előre rögzített távolsággal mozduljon el, azonban helytelen elforgatás esetén ez az állítás már nem igaz.

Forgatás 2D térben

Az analitikus geometriában egy síkon a derékszögű derékszögű koordináták megfelelő elforgatását a következő képletek fejezik ki:

x'=x\cos \varphi -y\sin\varphi ,

y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,

ahol a forgásszög, és a forgásközéppontot az origóban választjuk meg. Ugyanezen feltételek mellett a sík helytelen elforgatását a képlet fejezi ki $\varphi$

x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,

y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .

A planimetriában egy pont körüli [középpont] körüli elforgatást forgatási szöggel is jelöljük , ahol az elforgatást egy szöggel ahol és elforgatással azonosítjuk (a teljes szöggel való elforgatás szögét gyakran elforgatásnak is nevezik ). Ha az elforgatások szögei és összege a -tól ig terjedő tartományon belül van , akkor az elforgatások szekvenciális végrehajtásakor ( kompozíciója ) a szögeik összeadódnak (lásd még #Elforgatások összetétele síkon (komplex nézet) ): $O$ $\alpha$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ].$
$\beta '=\alpha +2\pi \cdot n,$ $n\in \mathbb{Z }$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ]$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $2\pi ~(360^{\circ })$
$\alpha ,\beta$ $\alpha +\beta$ $-\pi$ $\pi ,$

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^{{\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha +\beta }},

Ezenkívül két forgás összetétele kommutatív tulajdonsággal rendelkezik:

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^({\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha }}\circ R_{{O}} ^{{\béta }}.

Lásd még: Izometria (matematika)

Mátrix nézet

A mátrixos megközelítés alkalmazásakor a pontot vektorként írjuk fel , majd megszorozzuk a mátrixszal: $(x,y)$

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

$(x',y')$ pontelforgatással kapott pontkoordináták . $(x,y)$

A és vektorok mérete megegyezik. ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix))$

Komplex nézet

Egy sík elforgatása komplex számokkal ábrázolható . Mindezen számok halmaza geometriailag egy kétdimenziós komplex sík . A sík egy pontját komplex szám ábrázolja . $(x,y)$ $z=x+iy$

Egy pont szöggel történő elforgatása elvégezhető az Euler-képlet segítségével történő szorzással $\theta$ $e^{{i\theta}}$

{\begin{aligned}e^{{i\theta }}z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x '+iy',\end{aligned}}

amely ugyanazt az eredményt adja

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{igazított))

Fordulatok kompozíciója egy síkon (komplex nézet)

Először forgassuk el a pont körül egy szöggel , majd forgassuk el a pontot egy szöggel . És legyen a pontok és az alak komplex számaiként ábrázolva . Az óramutató járásával ellentétes forgás pozitívnak számít. Az elforgatások ilyen összetétele egyenértékű a pont körüli szöggel történő elforgatással , amelyet a következő képlettel számítanak ki : $a$ $\alpha$ $b$ $\beta$ $a$ $b$ $x+iy$ $\gamma ~=\alpha +\beta$ $c$ $c=a+(ba)e^{i{\alpha '}}{\frac {\sin \alpha '}{\sin \gamma '}}$

ahol , a $\alpha '={\frac \alpha 2}$ $\gamma '={\frac \gamma 2}$

Ha , akkor az elforgatások összetétele megegyezik a sík vektor általi párhuzamos eltolásával $\alpha +\beta =0$ $r=(ba)(e^{{i\alpha }}-1)$

Tulajdonságok

Ha a keret a forgásközépponthoz van kötve, akkor azt egy ortogonális mátrix valósítja meg .
- A háromdimenziós (fix középpontú) euklideszi tér forgásai az O(3) csoportot alkotják (a megfelelőek az SO(3) csoportot ).
- Egy kétdimenziós tér ( sík ) elforgatásai rendre az O(2) és SO(2) csoportokat alkotják ( u(1) izomorf ).

Jegyzetek

Lásd még

A forgómozgás a mechanikában folyamatos forgási folyamat.
Rotációs csoport
Forgatási mátrix
Ortogonális csoport
Ortogonális transzformáció
Speciális ortogonális csoport
Szögsebesség