U(1)

$U(1)$ ( 1. rendű unitárius csoport ) a matematikában - az eggyel modulusban egyenlő összes komplex szám multiplikatív Abel-csoportja : . Ez is egy egydimenziós hazugságcsoport, és egy kör . Izomorf a kétdimenziós valós tér forgáscsoportjával. $\{z\in {\mathbb C}:|z|=1\}$ $SO(2)$

Nevek és megnevezések

A csoportot unitáriusnak nevezzük , mivel egy komplex szám, modulo one, felfogható méretű unitárius mátrixként . Ez a csoport természetesen izomorf a valós sík forgási csoportjával (mivel a komplex sík valós kétdimenziós térnek tekinthető ). Néha úgy jelölik, vagy annak köszönhető, hogy ennek a csoportnak a négyzete tórusz ; a matematika egyes területein több , nem feltétlenül kettő csoport szorzatait torinak nevezik; lásd pl. Maximum tórusz . $1\szer 1$ $SO(2)$ $T$ ${\mathbb T}$ ${\mathbb T}\times {\mathbb T}$ ${\mathbb T}$

$U(1)$ összetett (egység) körnek is nevezik ( komplex elemzésben : ) vagy egyszerűen "körnek" ( vagy ). $\ részleges D$ $S$ $S^{1}$

Néhány tulajdonság

A csoport kompakt , és az egyetlen lehetséges (valódi) egydimenziós kompakt és összekapcsolt Lie csoport. Bármelyik pozitív dimenziójú kompakt Lie-csoportban találhatunk olyan alcsoportot , amely izomorf -ra . $U(1)$ $U(1)$

A csoport nem egyszerűen összefügg . $U(1)$

Elemi értelmezés

A csoport elemei tulajdonképpen meghatározzák a szög értékét : a csoport komplex száma felírható így (sőt , ez már valós lesz ), és a komplex számok szorzása szögek összeadásává válik. A csoport tehát felfogható egy kör forgásának csoportjaként, vagy a teljes sík origó körüli forgatásainak csoportjaként. $U(1)$ $z$ $z=e^{{i\phi }}$ $\phi$ $U(1)$ $SO(2)$

Azok a szögek, amelyek egész számú fordulattal különböznek egymástól ( , ha a szöget radiánban mérik ), megegyeznek. Például a be és a két forgás összege egyenlő lesz nullával. Így a csoport izomorf a valós számok csoportjának faktorcsoportjával modulo . Ha a szöget fordulatszámban méri ( ), akkor - valós számok törtrészeinek csoportja . $2\pi n$ $120^{\circ }=2\pi /3$ $240^{\circ }=4\pi /3$ $U(1)$ ${{\mathbb R}}/2\pi {{\mathbb Z}}$ $2\pi$ $2\pi =360^{\circ }$ $U(1)\approx {{\mathbb R}}/{{\mathbb Z}}$

Alkalmazás

Pontrjagin kettősségelméletének legfontosabb tárgya a csoport ; ezen keresztül határozzuk meg a Fourier-transzformációt . Gyakran használják bármilyen komplex számokat tartalmazó kontextusban , gyakran anélkül, hogy kifejezetten csoportként említenék (" szorzás egy modulo eggyel" stb.). $U(1)$

A fizikában a mérőeszköz elmélete az elektrodinamika (a Maxwell -egyenletek klasszikus mozgásegyenletek ). A kvantummechanikában a rendszer állapotvektorának "fizikailag megkülönböztethetetlen" transzformációi , amelyek nem változtatnak semmi megfigyelhetően (vagyis nem változtatnak semmit, ami elvileg megfigyelhető). Lásd még: mérő invariancia . $U(1)$ $U(1)$

A trigonometrikus összegek módszere a tulajdonságokon alapul . $U(1)$