Egységes operátor

Az unitárius operátor egy korlátos lineáris operátor : → egy Hilbert-téren , amely kielégíti a relációt $U$ $H$ $H$ $H$

U^{*}U=UU^{*}=I

ahol a k Hermitian adjunkt operátora, és : → az identitás operátora. Ez a tulajdonság a következővel egyenértékű: $U^{*}$ $U$ $én$ $H$ $H$

$U$ megőrzi a Hilbert-tér 〈 , 〉 belső szorzatát , azaz minden vektorra és a Hilbert-térben $x$ $y$ $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
$U$ szürjektív operátor .

Ez is egyenértékű a látszólag gyengébb állapottal:

$U$ megőrzi a pontterméket , és
a kép egy sűrű halmaz . $U$

Ennek megtekintéséhez vegye figyelembe, hogy izometrikus (és ezért korlátos lineáris operátor). Ez abból következik, hogy a ponttermék megőrzi. A kép egy sűrű halmaz . Nyilvánvaló, hogy = . $U$ $U$ $U$ $U^{-1}$ $U^{*}$

Az egységes elem az egységes operátor fogalmának általánosítása. Egy egységes *-algebrában az algebra egy U elemét unitárius elemnek nevezzük, ha

U^{*}U=UU^{*}=I

ahol én az identitáselem. [egy]

Az egységes transzformációk tulajdonságai:

unitáris transzformációs operátor mindig invertálható
ha az operátor Hermitian , akkor az operátor egységes. $\kalap H$ ${\hat U}=\exp(i{\hat H})$

Példák

Az identitás operátor egy triviális példa az unitárius operátorra.
A beforgatás a legegyszerűbb, nem triviális példa az unitárius operátorra. Az elforgatások nem változtatják meg a vektorok hosszát és két vektor közötti szöget. Ez a példa általánosítható a következőre is . ${\mathbb {R}}^{2}$ ${\mathbb {R}}^{3}$
A komplex számok vektorterében egy számmal való szorzás modulo -val , azaz a szám alakjának számával egységes operátor. fázisnak nevezzük. Látható, hogy az értéke , amely többszöröse , nem befolyásolja az eredményt, így a független unitáris operátorok halmaza -ben topológiailag egy körrel ekvivalens. $\mathbb{C}$ $egy$ $e^{{i\theta}}$ $\theta \in {\mathbb {R}}$ $\theta$ $\theta$ $2\pi$ $\mathbb{C}$

Tulajdonságok

Az U unitárius operátor spektruma az egységkörön fekszik. Ez látható a normál operátor spektrális tételéből . Ezzel a tétellel U unitárisan ekvivalens egy mérhető Borel - függvénnyel való szorzással -on , valamilyen térben ( , ). A következőkből . $f$ $L^{2}(\mu )$ $x$ $\mu$ $UU^{*}=I$ $|f(x)|^{2}=1$

Unitárius átalakulások a fizikában

A kvantummechanikában a kvantumrendszer állapotát egy Hilbert térbeli vektor írja le . Egy izolált kvantumrendszer állapotvektorának normája leírja annak valószínűségét, hogy a rendszert legalább valamilyen állapotban találjuk, ami azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie eggyel. Ennek megfelelően egy kvantumrendszer időbeni fejlődése valamilyen időfüggő operátor, és a normamegmaradás követelménye miatt unitér. A nem egységes evolúciós operátorok (vagy ami ugyanaz, a nem hermitisztikus Hamilton-operátorok) egy izolált kvantumrendszerhez tilosak a kvantummechanikában.

Irodalom

Egységes operátor // Uzhi - Fidel. - M .: Szovjet Encyclopedia, 1956. - S. 242. - ( Great Soviet Encyclopedia : [51 kötetben] / főszerkesztő B. A. Vvedensky ; 1949-1958, 44. v.).

Jegyzetek

↑ Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. C*-algebrák jellemzése: The Gelfand-Naimark tételek (angol) . New York: Marcel Dekker , 1986. - ISBN 0824775694 .