Mérhető funkció

A mérhető függvények a függvények természetes osztályát képviselik , amelyek a tereket megkülönböztetett halmazalgebrákkal kapcsolják össze , különösen a mérhető terekkel .

Definíció

Legyen és két halmaz megkülönböztetett részhalmaz algebrákkal . Ekkor a függvényt - mérhetőnek , vagy egyszerűen mérhetőnek nevezzük , ha bármely halmaz előképe - hoz tartozik , azaz $(X,{\mathcal {F}})$ $(Y,{\mathcal {G}})$ $f:X\Y-ig$ ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {F}}$

\forall B\in {\mathcal {G)),\;f^{{-1}}(B)\in {\mathcal {F)),

ahol a halmaz inverz képét jelenti . $f^{-1}(B)$ $B$

Jegyzetek

Ha a és topológiai terek és algebrák és nincsenek kifejezetten megadva, akkor feltételezzük, hogy ezek a megfelelő terek Borel σ-algebrái . $x$ $Y$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$
Ennek a definíciónak az a jelentése, hogy ha egy mérték adott egy halmazon, akkor ez a függvény indukálja (átviszi) ezt a mértéket a halmazba . $x$ $Y$

Valós értékű mérhető függvények

Legyen adott függvény . Ekkor a mérhetőség fenti definíciója egyenértékű a következők bármelyikével: $f:(X,{\mathcal {F)))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))$

A függvény akkor mérhető, ha $f$ $\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F))$ .

A függvény akkor mérhető, ha $f$ $\forall a,b\in {\mathbb {R}}$ , így van , $a\leq b$ $\{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F))$

ahol bármely intervallumot jelöl, nyitott, félig nyitott vagy zárt.

\langle a,b\rangle

Kapcsolódó definíciók

Legyen és a valós egyenes két másolata a Borel σ-algebrájával együtt . Ekkor a mérhető függvényt Borelnek nevezzük . $(X,{\mathcal {F}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $(Y,{\mathbb {G}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $f:({\mathbb {R)),{\mathbb {B))({\mathbb {R))))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R)))$
Egy mérhető függvényt , ahol az elemi eredmények halmaza , és a véletlen események σ-algebrája, véletlenszerű elemnek nevezzük . A véletlen elem speciális esete egy olyan valószínűségi változó , amelyre . $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

Példák

Legyen folytonos függvény . Ekkor a valós egyenesen a Borel σ-algebrához képest mérhető. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Legyen és a halmaz indikátora Akkor a függvény nem mérhető. $f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}})))),$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x),\;x\in X$ $A\not \in {\mathcal {F}).$ $f$

Tulajdonságok

Luzin tétele . Egy függvény akkor és csak akkor mérhető, ha bármelyikhez létezik olyan folytonos függvény , amely nem nagyobb, mint egy mértékhalmaztól . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\varepsilon >0$ $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f$ $\varepsilon$

Történelem

1901-ben A. Lebesgue francia matematikus az általa felépített Lebesgue-integrál elméletére alapozva azt a feladatot tűzte ki, hogy találjon egy olyan függvényosztályt, amely az analitikusnál szélesebb, ugyanakkor számos analitikai módszer alkalmazását teszi lehetővé azt. Ekkor már létezett E. Borel (1898) által kidolgozott általános mértékelmélet , Lebesgue első munkái pedig a Borel-elméletre épültek. Lebesgue disszertációjában (1902) a mértékelméletet az úgynevezett Lebesgue -mértékre általánosították . Lebesgue meghatározta a mérhető halmazok, a korlátos mérhető függvények és az ezekhez tartozó integrálok fogalmát, bebizonyította, hogy az elemzés során vizsgált összes "közönséges" korlátos függvény mérhető, és hogy a mérhető függvények osztálya zárt az alapvető analitikai műveleteknél, beleértve az átadás műveletét is. a határ . 1904-ben Lebesgue általánosította elméletét azzal, hogy eltávolította a függvény korlátossági feltételét.

Lebesgue kutatásai széles körű tudományos visszhangra találtak, ezeket számos matematikus folytatta és fejlesztette: E Borel, M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov és mások. A konvergencia fogalma legalábbis (1909), a A mérhető függvények osztályának topológiai tulajdonságait alaposan megvizsgálták.

Lebesgue munkáinak volt egy másik fontos fogalmi jelentősége is: teljes mértékben Cantor halmazelméletén alapultak , amely azokban az években vitatott volt , és Lebesgue elméletének gyümölcsözősége erős érvként szolgált a halmazelméletnek a matematika alapjaként való elfogadása mellett.

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 4. kiadás, M.: Nauka, 1976, 544 pp.
Medvegyev F. A. A mérhető függvény fogalmának történetéről. // Történeti és matematikai kutatás . - M .: Fizmatgiz , 1959. - 12. sz . - S. 481-492 .
Khalmosh P. Mértékelmélet . M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1953.