Ortogonális transzformáció

Az ortogonális transzformáció az euklideszi tér lineáris transzformációja, amely megőrzi a vektorok hosszát vagy (ekvivalens) pontszorzatát. Ez azt jelenti, hogy bármely két vektorra az egyenlőség $A$ $L$ $x,y\in L$

\langle A(x),\,A(y)\rangle =\langle x,\,y\rangle ,

ahol a háromszög zárójelek jelölik a skaláris szorzatot a térben . $\langle x,\,y\rangle$ $L$

Tulajdonságok

Az ortogonális transzformációk (és csak ezek) az euklideszi tér egyik ortonormális bázisát egy másik ortonormálisvá alakítják át.
A lineáris transzformáció ortogonalitásának szükséges és elégséges feltétele az egyenlőség $A$ $A^{*}=A^{-1},\qquad (*)$

hol van a konjugált és az inverz transzformáció.

A^{*}

A^{{-1}}

Ortonormális alapon az ortogonális transzformációk (és csak ezek) ortogonális mátrixoknak felelnek meg . Így a mátrix ortogonalitásának kritériuma az egyenlőség (*), ahol a transzponált és a mátrix inverze. $A$ $A^{*}$ $A^{{-1}}$
Az ortogonális transzformációk sajátértékei modulo , a különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok (általánosan összetettek ) pedig ortogonálisak. Például a mátrix sajátértékei , a sajátvektorok pedig . $egy$ ${\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix))$ $\cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi$ ${\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}}$
Az ortogonális transzformáció determinánsa ( megfelelő ortogonális transzformáció ) vagy ( nem megfelelő ortogonális transzformáció ). $egy$ $-egy$
Egy tetszőleges dimenziós euklideszi térben az ortogonális transzformáció véges számú visszaverődés összetétele . $n$
Egy euklideszi tér ortogonális transzformációinak halmaza a kompozíció művelete szempontjából egy csoportot alkot , az adott euklideszi tér ortogonális csoportját . A megfelelő ortogonális transzformációk egy normál alcsoportot alkotnak ebben a csoportban (a speciális ortogonális csoport ).

2. dimenzió

Az euklideszi sík esetében minden helyes ortogonális transzformáció valamilyen szögön át történő elforgatás , és a mátrixa bármely ortonormális alapon a következő alakú $\varphi$

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

A nem megfelelő ortogonális transzformáció mátrixának alakja van

{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Szimmetrikus, sajátértékei 1 és -1, ezért involúció. Megfelelő ortonormális alapon a nem megfelelő ortogonális transzformációs mátrix alakja a következő

{\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},

vagyis valamilyen vonalról való reflexió. A megfelelő ortogonális transzformáció két tükrözés eredménye:

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0& -1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

3. dimenzió

A háromdimenziós térben minden helyes ortogonális transzformáció egy tengely körüli elforgatás, a nem megfelelő pedig egy tengely körüli elforgatás és egy merőleges síkban történő visszaverődés kompozíciója.

n méret

A következő általános tétel érvényesül:

Egy euklideszi dimenziós tér minden ortogonális transzformációjára érvényes a következő bővítés $A\colon L\to L$ $n$ $L$

L=L_{1}\oplus L_{{-1}}\oplus M_{{\varphi _{1}}}\oplus \ldots \oplus M_{{\varphi _{k}}},

ahol az és az összes alterek páronként merőlegesek és a transzformáció invariáns alterei , és: $L_{1},$ $L_{-1}$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$

megszorítás ( identitás transzformáció) , $A$ $L_{1}$ $E$
felszereltség korlátja , _ $A$ $L_{-1}$ $-E$
minden tér kétdimenziós (síkok), és a kényszer a sík szögön keresztüli elforgatása . $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $\varphi _{i}$

A transzformációs mátrix szempontjából ez a tétel a következőképpen fogalmazható meg:

Bármely ortogonális transzformációhoz létezik egy olyan ortonormális alap, amelyben a mátrixa blokk-átlós alakú: $A$

A=\left({\begin{mátrix}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}& {}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{} &{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\ddots &{}&{}&{}&{} \\\,{}&{}&{}&{}&{}&-egy&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{} &A_{{\varphi _{1}}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{} &{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_({\varphi _{k}}}\\\end{mátrix}}\jobbra),

ahol a forgatási mátrix (lásd a fenti képletet), az egyesek száma megegyezik az altér méretével, a mínusz egyesek száma pedig az altér dimenziójával . $A_{{\varphi _{i}}}$ ${\varphi _{i))$ $L_{{1}}$ $L_{-1}$

Az ortogonális transzformációs mátrixnak ezt a jelölését néha kanonizálásnak nevezik. $A$

Lásd még

ortogonális mátrix
Diszkrét ortogonális transzformáció

Irodalom

Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. Moszkva: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról, Moszkva: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Előadások az algebráról. Moszkva: Nauka, 1984.
V. A. Iljin, E. G. Poznyak Lineáris algebra. - Fizmatlit, Moszkva, 1999.
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet , - M .: Nauka, 1966.
Gel'fand I. M. , Lineáris algebra . Előadás tanfolyam.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.