Lineáris kijelző

A lineáris leképezés egy lineáris numerikus függvény (pontosabban egy függvény ) általánosítása argumentumok és értékek általánosabb halmazára . A lineáris leképezések, ellentétben a nemlineáris leképezésekkel, kellően jól tanulmányozottak, ami lehetővé teszi az általános elmélet eredményeinek sikeres alkalmazását, mivel tulajdonságaik nem függenek a mennyiségek jellegétől. $y=kx$

A lineáris operátor (transzformáció) egy vektortér önmagába való lineáris leképezésének speciális esete. [egy]

Formális definíció

Egy mező feletti vektortér lineáris leképezése ugyanazon mező feletti vektortérbe ( egy lineáris operátor tól -ig ) egy leképezés $V$ $K$ $W$ $K$ $V$ $W$

f\colon V\to W

kielégíti a linearitási feltételt [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alpha x)=\alpha f(x)

mindenkinek és . $x,y\in V$ $\alpha \in K$

Ha és ugyanaz a vektortér, akkor ez nem csak egy lineáris leképezés, hanem egy lineáris transzformáció . $V$ $W$ $f$

Ha csak az első tulajdonság igaz, akkor az ilyen leképezést additívnak nevezzük .

A lineáris leképezések tere

Ha az összeadás és a szorzás műveleteit skalárral definiáljuk az as főmezőből $K$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

akkor az összes lineáris leképezés halmaza -tól -ig egy vektortér, amelyet általában így jelölnek $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Korlátozott lineáris operátorok. Operátori norma

Ha a és vektorterek lineáris topológiai terek , azaz topológiák vannak definiálva rajtuk , amelyekre vonatkozóan ezeknek a tereknek a műveletei folytonosak , akkor a korlátos operátor fogalma definiálható: egy lineáris operátort korlátosnak nevezünk, ha az korlátos halmazok korlátosakká (különösen minden folytonos operátor korlátos ). A normált terekben egy halmaz akkor korlátos, ha bármely elemének normája korlátos, ezért ebben az esetben egy operátort korlátosnak mondunk, ha létezik olyan N szám , amelyre . Megmutatható, hogy normált terek esetén az operátorok folytonossága és korlátossága ekvivalens. Az N konstansok közül a legkisebbet, amely teljesíti a fenti feltételt, operátornormának nevezzük : $V$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Ax\|}.$

Az operátorok normájának bevezetése lehetővé teszi, hogy a lineáris operátorok terét normált lineáris térnek tekintsük (ellenőrizhetjük a megfelelő axiómák érvényességét a bevezetett normára). Ha a tér Banach , akkor a lineáris operátorok tere is Banach. $W$

Inverz operátor

Egy operátort a lineáris operátor inverzének nevezünk, ha a következő összefüggés teljesül: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

A lineáris operátor inverze egyben lineáris operátor is. Ha egy lineáris folytonos operátor leképezi az egyik Banach-teret (vagy F-teret ) egy másikra, akkor az inverz operátor is lineáris folytonos operátor. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Lineáris leképezési mátrix

A lineáris leképezési mátrix egy olyan mátrix, amely valamilyen bázison fejezi ki a lineáris leképezést . Megszerzéséhez a bázisvektorokra történő leképezést kell befolyásolni és a kapott vektorok koordinátáit (bázisvektorok képeit) a mátrix oszlopaiba beírni.

A megjelenítési mátrix hasonló egy vektor koordinátáihoz. Ebben az esetben a vektor leképezése egyenértékű egy mátrix szorzatával ennek a vektornak a koordinátáinak oszlopával ugyanazon az alapon.

Válasszunk egy alapot . Legyen tetszőleges vektor. Ezután ezen az alapon bővíthető: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

hol vannak a vektor koordinátái a választott bázisban. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Itt és lent a buta indexek összegzése feltételezhető .

Legyen tetszőleges lineáris leképezés. Az előző egyenlőség mindkét oldalán fellépünk, megkapjuk $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

A vektorokat is kibővítjük a választott bázisban, megkapjuk ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

ahol a -edik vektor koordinátája -ból . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

A bővítést behelyettesítve az előző képletbe, azt kapjuk

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

A zárójelben lévő kifejezés nem más, mint egy képlet egy mátrixnak egy oszloppal való szorzására, így a mátrix egy oszloppal szorozva a vektor koordinátáit eredményezi , amelyek az operátor működéséből származnak. vektoron , amelyet meg kellett szerezni. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Ax}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Megjegyzés: Ha a kapott mátrixban felcserélünk egy oszlop- vagy sorpárt, akkor általánosságban véve egy másik mátrixot kapunk, amely ugyanannak az alapelemkészletnek felel meg. Más szóval, feltételezzük, hogy az alapelemek sorrendje szigorúan rendezett. ${\mathbf {e}}_{k}$

Átalakítási példa

Példaként tekintsünk egy 2×2-es mátrixot a következő formában

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

felfogható egy egységnégyzet , , , és csúcsú paralelogrammává történő transzformációs mátrixaként . A jobb oldali ábrán látható paralelogrammát úgy kapjuk meg, hogy az A mátrixot megszorozzuk minden oszlopvektorral és . Ezek a vektorok az egységnégyzet csúcsainak felelnek meg. $(0, 0)$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (a+c,b+d)}$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmátrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

A következő táblázat példákat ad 2 × 2 mátrixokra valós számok felett a megfelelő R 2 lineáris transzformációkkal . A kék szín az eredeti koordináta rácsot jelöli, a zöld pedig a transzformált. A koordináták origóját fekete pont jelöli. $(0, 0)$

Vízszintes eltolás (m=1,25)	Vízszintes tükrözés	Tömörítés [ ismeretlen kifejezés ] (r=3/2)	Homotitás (3/2)	Forgatás (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1,25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmátrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmátrix}}$

Fontos speciális esetek

A lineáris forma olyan lineáris leképezés, amelyre: $W=K$
$f\colon V\to K$
A lineáris endomorfizmus egy lineáris leképezés, amelyhez(operátor): $V=W$
$f\kettőspont V\az V$
Az identitás operátor (identitás operátor) olyan operátor, amely a tér minden elemét önmagába képezi le; egy ilyen operátor normája eggyel egyenlő (normált terekre) $x\mapsto x$
A nulla leképezés egy operátor, amely minden elemetnull elemmé. $V$ $W$
A projektor egy operátor, amely mindegyikhez hozzárendelia vetítését egy altérre. $x$
A konjugált leképezés egy leképezésreareláció által adottleképezés. $A\in L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
Az önadjungált operátor egy Hilbert-tér operátora, amely egybeesik az adjungált operátorával. Néha az ilyen operátorokat hipermaximális remeteségnek nevezik.
A hermitikus (vagy szimmetrikus) operátor egy Hilbert-tér alterében definiáltoperátora definíciós tartományból származóösszes párra. Mindenütt meghatározott operátoroknál ez a tulajdonság egybeesik az önadjungáltsággal. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$
Az unitárius operátor olyan operátor, amelynek definíciós tartománya és értéktartománya a skaláris szorzatot megőrző teljes tér; különösen az unitárius operátor megőrzi bármely vektor normáját. Az egységes inverz operátor megegyezik az adjungált operátorral; az egységes operátor normája 1; valós K mező esetén az unitárius operátort ortogonálisnak nevezzük. $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Kapcsolódó fogalmak

A lineáris leképezés magja az a részhalmaz, amely nullára van leképezve: $f\colon V\to W$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

A lineáris leképezés magja alteret képez egy lineáris térben .

V

A következő részhalmazt lineáris leképezés képének nevezzük : $f$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

A lineáris leképezés képe egy alteret képez egy lineáris térben .

W

Egy részhalmaz [3] képét az A lineáris transzformációhoz képest halmaznak nevezzük . $M\alhalmaz V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

A lineáris terek közvetlen szorzatának és a lineáris térnek a leképezését bilineárisnak nevezzük, ha mindkét argumentumában lineáris. A lineárisabb terek közvetlen szorzatleképezését multilineárisnak nevezzük, ha minden argumentumában lineáris. $f\colon V\times U\to W$ $V$ $W$ $U$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$
Egy operátort lineáris inhomogénnek (vagy affinnak ) nevezünk, ha alakja van ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

ahol egy lineáris operátor és egy vektor.

L

v

Hadd . Egy alteret invariánsnak mondunk lineáris leképezés esetén, ha [4] . $A:V-től V-ig$ $M\alhalmaz V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Az invariancia kritériuma. Legyen olyan altér, amely direkt összegre bomlik : . Ekkor lineáris leképezés esetén akkor és csak akkor invariáns, ha hol van egy projekció az altérre .

M\X részhalmaz

x

X=M\oplus N

M

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

DÉLUTÁN}

M

Tényező-operátorok [5] . Legyen egy lineáris operátor, és legyen valamilyen altér invariáns az operátor alatt. Az altérből hányadosteret képezünk . Ekkor a hányados operátor a következő szabály szerint ható operátor : , ahol a -t tartalmazó hányadostérből egy osztály . $A:V-től V-ig$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Fejsze]$ $Fejsze$
A kettős szóközök között visszafelé haladó kettős leképezés van megadva .

Példák

Példák lineáris homogén operátorokra:

differenciálási operátor: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
integrációs operátor: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
egy bizonyos függvénnyel való szorzás operátora ; $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$
integrációs operátor adott "súllyal" $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
operátor a függvény értékének egy adott pontban történő felvételéhez : [6] ; $f$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
vektor-mátrix szorzás operátor: ; $b = Ax$
vektorforgatás operátor .

Példák lineáris nem homogén operátorokra:

Bármilyen affin transzformáció ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

ahol , , jól definiált függvények, és az operátor által átalakított függvény. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Jegyzetek

↑ E.B. Vinberg. Algebra tanfolyam. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 p. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , p. 203.
↑ M-nek nem kell altérnek lennie.
↑ Vagy: . $AM\M részhalmaz$
↑ Helyesírási tényező operátorok is használatosak .
↑ Néha úgy emlegetik $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Lásd még

Irodalom

Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.