Endomorfizmus

Az endomorfizmus egy kategória objektum önmagába való morfizmusa ; az univerzális algebra kontextusában egy algebrai rendszert önmagába leképező homomorfizmus .

Bármely kategóriában két endomorfizmus összetétele is endomorfizmus, az összetétel asszociatív, és van azonos endomorfizmus. Ebből következik, hogy egy objektum minden endomorfizmusa monoidot alkot , amelyet jelölünk (vagy a kategória hangsúlyozására ). $x$ $x$ $\operátornév {vége}(X)$ $\operátornév {End}_{C}(X)$ $C$

A reverzibilis endomorfizmust (amely az izomorfizmus tulajdonságaival rendelkezik) automorfizmusnak nevezzük . Az automorfizmusok halmaza természetes csoportszerkezetű részhalmaz, és jelölése . $\operátornév {vége}(X)$ $\operátornév {Aut}(X)$

Egy Abel-csoport bármely két endomorfizmusa hozzáadható a szabály szerint . Az így definiált addícióval bármely Abel-csoport endomorfizmusai egy endomorfizmusgyűrűnek nevezett gyűrűt alkotnak . Például egy szabad Abel-csoport endomorfizmusai az összes egész együtthatós mátrix gyűrűje. A vektortér vagy modul endomorfizmusai szintén gyűrűt alkotnak, akárcsak bármely preadditív kategóriájú objektum endomorfizmusa . A kommutatív monoid endomorfizmusai egy félgyűrűt , míg a nem kommutatív csoport endomorfizmusai egy közeli gyűrűként ismert szerkezetet alkotnak . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\szer n$

Irodalom

Nathan Jacobson . Alapalgebra (határozatlan) . — 2. - Dover, 2009. - 1. kötet - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .