Az univerzális algebra a matematikának egy olyan ága , amely az algebrai rendszerek általános tulajdonságait tanulmányozza , felhasználva a különböző algebrai struktúrák - csoportok, gyűrűk, modulok, rácsok - közötti hasonlóságokat, bevezetve az ezekben rejlő fogalmakat, és mindegyikre közös állításokat állítva fel. Köztes helyet foglal el a matematikai logika és az általános algebra között, mint az általános algebrai struktúrákra alkalmazott matematikai logika megvalósító berendezése.
A központi fogalom egy algebrai rendszer , egy maximális általánosság tárgya, amely magában foglalja az algebrai struktúrák változatainak jelentős részét ; ezen az objektumon keresztül a homomorfizmus és a faktorrendszerek fogalmai konstruálhatók, általánosítva a megfelelő konstrukciókat a csoportok, gyűrűk, rácsok stb. elméleteiből. Fejlett irány a szekcióban az axiomatizálható algebrai rendszerek osztályainak tanulmányozása, elsősorban olyanok, amelyeket a fajtaazonosságok határoznak meg (beleértve a szabad algebrákat ), és amelyeket a kvázi-varieté kvázi azonosságai határoznak meg . A matematikai tantárgyak osztályozásában a legfelső szintű szakasz az univerzális algebrához van hozzárendelve 08.
A matematika egy ilyen nevű ágának első említése Alfred Whiteheadre vonatkozik ( 1898 -ban jelent meg "Treatise on univerzális algebra, alkalmazásokkal" [1] ) [2] , azonban az algebrai struktúrákat tanulmányozó külön tudományág kialakulása. mivel tetszőleges halmazok tetszőleges művelet- és relációhalmazokhoz kötődnek Garrett Birkhoff 1935-ös munkájához [3] [4] , rácselméleti munkája keretében számos, az elméletben használt párhuzamos konstrukcióra hívta fel a figyelmet. csoportok és gyűrűk : homomorfizmusok , faktorcsoportok és faktorgyűrűk , normál alcsoportok és kétoldalú ideálok . Birkhoff munkája egy ideig nem váltott ki publikált válaszokat és fejlődést, azonban az 1940 -es években az algebra ilyen univerzális megközelítéséhez kapcsolódó "folklór" kialakult, különösen a negyvenes évek végén Philip előadásaiban vázolta ezt a megközelítést . Hall . Hall ) a Cambridge -i Egyetemen [2] .
A következő lépés az univerzális algebra, mint a matematika ága felé, Alfred Tarski modellelméletről és Kenjiro Shoda bináris műveletekkel végzett algebrákról szóló munkája, valamint Leon Genkin [5] , Anatolij Malcev [6] munkája , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl . Bjarni Jónsson ) [8] , akik az akkoriban épülő modellelmélet keretében alkalmazott matematikai logika apparátusának hatékonyságára hívták fel a figyelmet a tanulmányra. Az algebrai rendszerek mint modelleket és algebrákat általánosító struktúrák. Ugyanakkor Maltsev 1941 -es munkáját [9] úgy jegyezték meg, hogy az univerzális algebra logikus megközelítését vetítette előre, de a háború miatt nem kapott válaszokat és nem kapott időben fejlesztést , és Tarski előadását a Nemzetközi Matematikusok Kongresszusán 1950-ben úgy jegyezték meg, mint szakasz második fejlesztési periódusának kiindulópontja [10] .
Az 1950-es évek vége óta a szabad algebrák kutatásának iránya fejlődött , elsősorban Edvard Marchevsky munkásságának és a lengyel matematikusok ezt követő több mint ötven cikkéből álló sorozatának köszönhetően [11] . Az 1950-es évek közepén Philip Higgins bevezette és tanulmányozta a többoperátoros csoportokat [12] [13] , mint olyan struktúrákat, amelyekben a kommutátor fogalma általánosítható , és bármilyen kongruencia ábrázolható az ideálokban lévő kosetekre (a megfelelővel analógiaként). egy normál alcsoport és egy kétoldali ideális gyűrű tulajdonságait, később a többoperátoros csoportok speciális osztályait (többoperátor gyűrűk és algebrák) is tanulmányozták.
Az 1960-as évek eleje óta fejlődik a kvázivariációk elmélete és az algebrai rendszerek axiomatizálható osztályaival való kapcsolatuk kérdései (Maltsev, Gorbunov ), a leggyorsabban fejlődő irány az 1970-es évek elején-közepén a kongruenciaváltozatok vizsgálata volt. (Bjarni Jónsson, Gretzer).
1968-ra az univerzális algebra bibliográfiája több mint 1000 cikket, 1980-ra már több mint 5000 cikket tartalmazott. az 1976 és 1988 közötti időszakban 2 ezer mű jelent meg [14] .
Az 1970-es évek második felében megjelentek az univerzális algebra alkalmazásai a számítástechnikában - az absztrakt adattípusok elmélete , az adatbázis-kezelő rendszerek elmélete [15] , az alkalmazások főként a sokféle algebrák fogalma köré épülnek . Az 1980-as és 1990-es években [16] a legaktívabb fejlesztések közé tartozik a kvázivariációk elmélete, a kongruenciák sokaságának kommutátorainak elmélete és a természetes kettősség elmélete . A 2000-es években egy külön irányt kapott intenzív fejlesztés - az univerzális algebrai geometria , a klasszikus algebrai geometria általánosítása, az algebrai mezőkkel való munka az algebrai rendszerek szélesebb osztályaira [17] .
A szakasz vizsgálatának alapvető tárgya egy algebrai rendszer – egy tetszőleges nem üres halmaz, amelyen véges tömbműveletek adott (esetleg végtelen) halmaza és véges tömbkapcsolatai vannak: , , . A halmazt ebben az esetben a rendszer hordozójának (vagy főhalmazának ) nevezzük , a funkcionális és predikátum szimbólumok halmazát aritásukkal együtt az aláírás . Az üres relációkészlettel rendelkező rendszert univerzális algebrának (a tárgy kontextusában - gyakrabban csak algebra ), az üres műveletkészlettel pedig modellnek [18] vagy relációrendszernek , relációs rendszernek nevezzük. [19] .
Az összes alapvető általános algebrai struktúra beleillik ebbe az absztrakcióba, például a részben rendezett halmaz egy bináris részleges sorrendű relációval felruházott relációs rendszer, a csoport pedig egy nulla művelettel felszerelt algebra [20] , amely egy semleges elemet választ ki. unáris művelet egy inverz elem és egy bináris asszociatív művelet megszerzésére .
Tekintettel arra, hogy bármely -áris művelet ábrázolható -dimenziós relációként , bármely algebrai rendszer modellként tanulmányozható, modellelméleti eszközök segítségével [21] .
Az algebrai rendszerekre olyan konstrukciókat vezetnek be, amelyek az összes alapvető általános algebrai struktúrára jellemzőek: egy alrendszer ( alrendszer , almodell ), mint a rendszer hordozójának részhalmaza, zárt minden művelet és kapcsolat tekintetében, rendszerek homomorfizmusa , mint leképezések azonos típusú rendszerek között, megőrizve az alapvető műveleteket és összefüggéseket, izomorfizmus , mint invertálható homomorfizmus, az automorfizmus mint önmagára vonatkozó izomorfizmus. A kongruencia fogalmának bevezetése stabil ekvivalencia-relációként egy rendszeren lehetővé teszi egy ilyen konstrukció faktorrendszerként ( faktoralgebra , faktormodell ) - ekvivalenciaosztályok feletti rendszerként való megalkotását . Ezzel egyidejűleg bizonyítást nyert az összes algebrai rendszerben közös homomorfizmus -tétel , amely szerint bármely homomorfizmus esetén a faktorrendszer természetes leképezése a magkongurenciához képest homomorfizmus , algebrák esetében pedig , ez egy izomorfizmus .
Egy algebrai rendszer összes alrendszere egy teljes rácsot alkot , ezenkívül bármely algebrai rács (vagyis olyan rács, amelynek minden eleme a kompakt elemeinek legkisebb felső korlátjaként ábrázolható) izomorf egyes részalgebrák rácsával. univerzális algebra [22] . Algebrai rendszerek automorfizmusainak csoportjait [23] , kongruenciák rácsait vizsgáltuk . Konkrétan azt mutatják be, hogy bármely csoportra és rácsra létezik olyan univerzális algebra , hogy , , .
Azonos típusú algebrai rendszerek családjában a közvetlen szorzat olyan rendszerként definiálható, amelynek műveletei és relációi a hordozók derékszögű szorzatán vannak koordinátaszerűen definiálva : azaz - , és - esetén . A közvetlen termékprojekciók természetes szürjektív homomorfizmusok , amelyek helyreállítják a termék összetevőiben lévő műveleteket és kapcsolatokat. Az algebrai rendszer derékszögű foka önmagával való közvetlen szorzat: ; egy algebra kongruenciáinak rácsát ebben az értelemben tekinthetjük úgy, hogy belép a derékszögű négyzet részalgebrák rácsába , sőt megállapították, hogy ez egy teljes részrács benne [24] .
Az algebrai rendszerek sokfélesége (vagy egy egyenletosztály ) egy fix aláírású algebrai rendszerek osztálya, amelyeket szignatúrákban kifejezett azonosságok halmaza axiomatizál , ez a fogalom olyan speciális, axiomatikusan adott algebraosztályokat általánosít, mint az összes félcsoport osztálya, az összes csoport osztálya, az összes gyűrű osztálya. Az ilyen általánosított konstrukció változatként való tanulmányozásának alapja a Birkhoff-tétel , amely kimondja, hogy ahhoz, hogy az algebrai rendszerek egy nem üres osztálya azonosságokkal axiomatizálható legyen, szükséges és elegendő, ha tartalmazza:
A harmadik feltétel a faktorrendszerek tekintetében zártnak felel meg.
Az univerzális algebrával kapcsolatos tanulmányok során részletesen tanulmányozzák a sokaságok szerkezeti tulajdonságait és az egyik sokaság rendszereinek egy másik rendszerébe való bemeríthetőségének kérdéseit. Egy adott egyenletosztályhoz tartozó részváltozatok rácsot alkotnak a befoglalással, és az ilyen fajták rácsainak tulajdonságai eltérőek, különösen az összes rácsfajta rácsa disztributív , és a kontinuum sokfélesége van, és a rács összes változatának rácsa. csoport moduláris , de nem elosztó.
A fajtákon kívül az olyan általánosabb rendszerosztályokat, mint a prevarities (replica-complete osztályok), amelyek az egyelemes rendszert tartalmazó részalgebrák és karteziánus termékek, valamint a kvázivariációk tekintetében zárt osztályok, valamint a kvázivarietások kvázi-azonosságok halmazával axiomatizálódnak ( Horn klauzulák által meghatározott ), valamint a fajták és a kvázi-változatok véges-zárt változatai az ál- és pszeudo-kvázi- változatok is .
A matematika ágai | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
"Tudomány" portál | ||||||||||
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra | ||||||||||
Számelmélet ( aritmetika ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|