Elemzés (a matematika egyik ága)

Az analízis mint a matematika modern ága a matematika jelentős része , amely történelmileg a klasszikus matematikai elemzésből nőtt ki , és a klasszikus részbe foglalt differenciál- és integrálszámításon kívül olyan részekre terjed ki, mint a függvényelmélet. valós és összetett változó , differenciál- és integrálegyenletek elmélete , variációszámítás , harmonikus elemzés , funkcionális elemzés , dinamikus rendszerek elmélete és ergodikus elmélet , globális elemzés . A nem szabványos elemzés a matematikai logika és elemzés  metszéspontjában álló szakasz , amely a modellelmélet módszereit alkalmazza az alternatív formalizálásra, elsősorban a klasszikus szakaszokra.

A matematika három fő területe egyikének tartják, az algebrával és a geometriával együtt . Az elemzés fő megkülönböztető jegye más területekkel összehasonlítva a változók függvényeinek vizsgálati tárgyként való jelenléte. Ugyanakkor, ha a tantervekben és az anyagokban az elemi elemzési szakaszokat gyakran kombinálják az elemi algebrával (például számos „Algebra és az elemzés kezdetei” című tankönyv és kurzus létezik), akkor a modern elemzés nagyrészt az ún. modern geometriai metszetek, elsősorban differenciálgeometria és topológia .

Történelem

Külön ágakat az "infinitezimálisok elemzésétől", mint a közönséges differenciálegyenletek elmélete ( Euler , Johann Bernoulli , D'Alembert ), a variációszámítás (Euler, Lagrange ), az analitikus függvények elmélete (Lagrange, Cauchy , később). Riemann ), kezdett még jobban elkülönülni a XVIII - a XIX. század első felében. Az elemzés mint önálló modern szakasz kialakulásának kezdetének azonban a 19. század közepének a klasszikus elemzés kulcsfogalmainak - valós szám , függvény , határérték , integrál - formalizálásával foglalkozó munkáit tekintjük , elsősorban a Cauchy és Bolzano művei , és az 1870-es és 1880-as évekre Weierstrass , Dedekind és Cantor [1] műveiben nyert kész formát . Ezzel kapcsolatban kialakult egy valós változó függvényelmélete , és az analitikus függvényekkel való munkavégzés módszereinek kidolgozása során egy komplex változó függvényelmélete . A 19. század végén Cantor által megalkotott naiv halmazelmélet lendületet adott a metrikus és topológiai terek fogalmának megjelenéséhez , ami jelentősen megváltoztatta a teljes elemzési eszköztárat, megemelve a vizsgált objektumok absztrakciós szintjét, és eltolva a fókuszt. a valós számoktól a nem numerikus fogalmakig.

A 20. század elején főként a francia matematikai iskola ( Jordan , Borel , Lebesgue , Baer ) erőivel megszületett a mértékelmélet , amelynek köszönhetően általánossá vált az integrál fogalma, és a függvények elmélete. egy valós változó is készült . Szintén a 20. század elején kezdett kialakulni a funkcionális elemzés a modern elemzés önálló alszekciójaként, amely a topológiai vektortereket és azok leképezéseit vizsgálja . A "funkcionális analízis" kifejezést Hadamard vezette be , ami a 19. és 20. század fordulóján olasz és francia matematikusok csoportja (köztük Volterra , Artsela ) által kidolgozott variációs számítások egyik ágát jelöli. Fredholm 1900- ban publikált egy cikket az integrálegyenletekről, amely lendületet adott mind az integrálegyenletek elméletének , mind az általános integrációelméletnek ( Lebesgue ), mind pedig a funkcionális elemzés kialakításának [2] . 1906 - ban Hilbert felvázolta a spektrumelméletet , ugyanebben az évben jelent meg Fréchet munkája , amelyben először vezették be az absztrakt metrikus tereket az elemzésbe [3] . Az 1910-es és 1920-as években finomították az elválaszthatóság fogalmát, és először alkalmaztak általános topológiai módszereket az elemzésre ( Hausdorff ), elsajátították a függvénytereket, és megkezdődött a normált terek általános elméletének kialakítása (Hilbert, Rees , Banach , Hahn ). . Az 1929-1932 közötti időszakban kialakult a Hilbert-terek axiomatikus elmélete ( John von Neumann , Marshall Stone , Rees). 1936-ban Sobolev megfogalmazta az általánosított függvény fogalmát (később az 1940-es években, tőle függetlenül Laurent Schwartz is hasonló koncepcióhoz jutott ), amely az elemzés számos szakaszában elterjedt, és az alkalmazásokban is széles körben alkalmazható (például a Dirac ). függvény általánosított ). Az 1930-1950-es években jelentős eredmények születtek a funkcionális elemzésben az általános algebrai eszközök ( vektorrácsok , operátoralgebrák , Banach-algebrák ) alkalmazásával.

A 20. század közepére önálló fejlődésnek indultak olyan területek, mint a dinamikus rendszerek elmélete és az ergodikus elmélet ( George Birkhoff , Kolmogorov , von Neumann), a harmonikus elemzés eredményeit általános algebrai eszközök – topológiai csoportok – segítségével jelentősen általánosították. és reprezentációk ( Weil , Peter , Pontryagin ). Az 1940-es és 1950-es évektől kezdődően a funkcionális elemzés módszerei alkalmazásra kerültek az alkalmazott területeken, különösen Kantorovich 1930-1940-es munkáiban, a funkcionális elemzési eszközöket a számítási matematikában és a közgazdaságtanban ( lineáris programozás ) alkalmazták. Az 1950-es években Pontrjagin és hallgatói munkáiban a variációszámítás módszereinek kidolgozása során megalkották az optimális szabályozás elméletét .

A 20. század második felétől a differenciáltopológia fejlődésével új irány csatlakozott az elemzéshez - a sokaságelemzéshez , az úgynevezett "globális elemzéshez" , amely valójában korábban, az 1920-as években kezdett kialakulni a keretek között. A Morse-elmélet a variációs számítások általánosítása (a Morse "variation calculus in general", angol variation calculus in large ). Ez a terület olyan területeket foglal magában, amelyek a dinamikus rendszerek bifurkációi elméletének fejlesztése során jöttek létre ( Andronov ), mint a szingularitások elmélete ( Whitney , 1955 ) és a katasztrófaelmélet ( Tom , 1959 és Mather , 1965 ), amelyek az 1965-ben fejlődtek. 1970-es évek Zieman és Arnold műveiben .  

Az 1960-as évek elején Robinson megalkotta a nem szabványos elemzést  – a klasszikus és a kapcsolódó elemzési területek alternatív formalizálását modellelméleti eszközök segítségével . Ha eleinte a nem szabványos elemzést csak a klasszikus szekciókban rosszul formalizált fogalmak (elsősorban végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségek ) alátámasztásának logikai technikájának tekintették, akkor az 1970-es évek végén Nelson fejlesztésével ( angolul Edward Nelson ) ) a belső halmazok elméletének és az azt követő általánosításoknak az alapján kiderült, hogy a nem szabványos elemzés konstrukciói a matematika szinte minden ágában alkalmazhatók, ahogyan ez minden matematikai objektumban természetesen rejlik [4] . Emellett a nem szabványos elemzés nyelvezetének kifejezőképessége miatt eszközei olyan eredményeket tártak fel, amelyek a klasszikus elemzésben nem találhatók meg, ugyanakkor elvileg standard, klasszikus eszközökkel is elérhetők voltak [5] . Szintén az 1970-es - 1980-as években a kényszermódszer kidolgozásában ( Cohen a kontinuumhipotézis eldönthetetlenségének bizonyítására hozta létre a ZFC -ben), Solovay , Scott és Vopěnka ( cseh. Petr Vopěnka ) munkáiban az elmélet Boole-értékes modellek készültek , amelyek alapján a nem szabványos elemzés önálló ága formálódott ki - a Boole-értékes analízis [6] .  

Klasszikus matematikai elemzés

A klasszikus matematikai elemzés - egy olyan rész, amely valójában teljesen megfelel a történelmi " infinitezimális elemzésnek ", két fő összetevőből áll: a differenciál- és az integrálszámításból . A fő fogalmak a függvény határértéke , differenciál , derivált , integrál , a fő eredmények a Newton-Leibniz formula , amely a határozott integrált és az antideriváltot köti össze , a Taylor sorozat pedig  egy végtelenül differenciálható függvény sorozatbővítése a függvényben . egy pont szomszédságában.

A "matematikai elemzés" kifejezés általában ezt a klasszikus részt érti, míg főként tantervekben és anyagokban használják. Ugyanakkor az elemzés alapjainak tanulmányozása a legtöbb középfokú oktatási programban, a tárgy többé-kevésbé teljes tanulmányozása pedig a felsőoktatás első éveinek programjában szerepel a szakterületek széles körében, pl. sok bölcsész. Az angol-amerikai oktatási hagyományban a "calculus" ( angolul  calculus ) kifejezést a klasszikus matematikai elemzésre használják .

Valós változó függvényeinek elmélete

A valós változó függvényelmélete (néha röviden - függvényelmélet ) a valós szám és a függvény fogalmának formalizálása eredményeként jött létre [7] : ha a klasszikus elemzési szakaszokban csak a felmerülő függvények konkrét problémáknál természetes módon vették figyelembe, majd a függvényelméletben maguk a függvények válnak a vizsgálat tárgyává, viselkedésüket, tulajdonságaik összefüggéseit vizsgálják. A valós változó függvényelméletének sajátosságait szemléltető egyik eredmény [8]  az a tény, hogy a folytonos függvénynek egyetlen ponton sem lehet deriváltja (sőt a klasszikus matematikai elemzés korábbi elképzelései szerint az összes változó differenciálhatósága folyamatos funkciókat nem kérdőjelezték meg).

A valós változó függvényelméletének fő irányai [9] :

Egy összetett változó függvényelmélete

Az összetett változó függvényelméletének tárgya a komplex síkon vagy komplex euklideszi térben definiált numerikus függvények , míg a legáthatóbban az analitikus függvények , amelyek a matematikai elemzés szinte minden ágában fontos összekötő szerepet töltenek be. Különösen az analitikus függvény fogalmát általánosították tetszőleges Banach-terekre , így egy komplex változó függvényelméletének számos eredményét általánosították a funkcionális elemzésben.

Funkcionális elemzés

A funkcionális elemzést mint metszetet a topológiai vektorterek vizsgálati tárgyaként való jelenléte jellemzi, és ezek leképezései különféle algebrai és topológiai feltételekkel [11] . A függvényterek központi szerepet játszanak a funkcionális elemzésben, klasszikus példa erre az összes mérhető függvény terei , amelyeknek a foka integrálható; ráadásul ez már  egy végtelen dimenziós tér ( Hilbert tér ), és a végtelen dimenziójú terek olyannyira velejárói a funkcionális elemzésnek, hogy néha a teljes szakaszt a végtelen dimenziós tereket és azok leképezéseit vizsgáló matematika részeként határozzák meg. [12] . A funkcionális analízis klasszikus metszeteiben a legfontosabb terek a Banach-terek  - normált vektorterek, amelyek a norma által generált metrikában teljesednek ki: a gyakorlatban érdekes terek jelentős része ilyen, köztük minden Hilbert-terek, terek , Kemény terek , Sobolev terek . A funkcionális elemzésben fontos szerepet játszanak az algebrai struktúrák, amelyek Banach-terek - Banach-rácsok és Banach-algebrák (beleértve a --algebrákat , a von Neumann-algebrákat ).

Az operátorelmélet , amely a korlátos lineáris operátorokat tanulmányozza  , a funkcionális elemzés egyik fő alszaka, beleértve a spektrális elméletet , az operátorok különféle osztályainak elméleteit (különösen a kompakt , Fredholm , zárt operátorok), a speciális normált tereken lévő operátorok elméletét (Hilbert-en). terek - önadjungált , normál , unitárius , pozitív operátorok , funkcionális tereken - differenciál , pszeudo - differenciális , integrál és pszeudointegrális operátorok és mások), az invariáns alterek elmélete , az operátorosztályok elmélete - operátoralgebrák , operátorok félcsoportok és mások.

Változatszámítás

A variációszámítás fő vizsgálati tárgya a funkcionális variációk , amelyek segítségével egy vagy több változó függvény választásától függően extrém problémákat oldanak meg. Tipikus variációs probléma, hogy olyan függvényt találjunk, amely kielégíti a stacionaritási feltételt valamely adott függvényre, vagyis olyan függvényt, amelynek végtelenül kicsi perturbációi nem okoznak változást a funkcionálisban, legalábbis a kicsinység első rendjében. A klasszikus variációszámítás a fizika számos ágára nagy műszeres befolyást gyakorolt ​​( a mechanika variációs elvei széleskörű alkalmazásra találtak az elektrodinamikában , kvantummechanikában is ). Az optimális szabályozás elmélete a  variációszámítás módszereinek alkalmazása egy sokkal szélesebb problémacsoportra: a rendszerek legjobb paramétereinek meghatározása olyan körülmények között, amikor a szabályozási paraméterek is felvehetnek határértékeket.

Harmonikus elemzés

A harmonikus elemzés fő elve az elemzési problémák redukálása a harmonikus függvények eszközeinek tanulmányozására és azok általánosításaira. A klasszikus harmonikus elemzés a trigonometrikus sorozatok elméletének fő eszközeként a Fourier-transzformációkat , a majdnem periodikus függvényeket , a Dirichlet -sorokat tartalmazza [13] .

Az absztrakt harmonikus elemzésben a klasszikus módszereket absztrakt struktúrákra általánosítják olyan fogalmak használatával, mint a Haar-mérték és a csoportreprezentációk [14] . A kommutatív harmonikus elemzés legfontosabb eredménye a Pontrjagin-féle dualitástétel , amelynek köszönhetően a harmonikus elemzés szinte minden klasszikus eredményét viszonylag egyszerű általános algebrai eszközökkel írják le. Az elmélet továbbfejlesztése a nem kommutatív harmonikus elemzés, amelynek fontos alkalmazásai vannak a kvantummechanikában .

Differenciál- és integrálegyenletek

A differenciálegyenletekkel kapcsolatban az elemzés során két fő irányt különböztetnek meg - a közönséges differenciálegyenletek elméletét és a parciális differenciálegyenletek elméletét (az oktatási anyagokban és egyes osztályozásokban, amelyek "matematikai fizika egyenletekként" jelennek meg, mivel egy ilyen osztály tanulmányozása. Az egyenletek a matematikai fizika fő tartalma ) .

Az integrálegyenletek elméletében a klasszikus megoldási módszerek mellett vannak olyan területek, mint a Fredholm-elmélet , amelyek jelentős hatással voltak a funkcionális analízis önálló szakaszként való kialakítására, különösen hozzájárultak a funkcionális elemzés önálló szakaszának kialakulásához. Hilbert tér fogalma .

A dinamikus rendszerek elmélete és az ergodikus elmélet

A differenciálegyenletek főbb vizsgálati területei közül önálló szakaszként emelkedett ki a mechanikai rendszerek időbeli alakulását vizsgáló dinamikus rendszerek elmélete és a statisztikai fizika alátámasztását célzó ergodikus elmélet . A problémák alkalmazott jellege ellenére ezek a szakaszok széles körű általános matematikai jelentőségű fogalmakat és módszereket tartalmaznak, különösen ilyenek a stabilitás és az ergodikus fogalmak .

Globális elemzés

A globális elemzés az elemzésnek  egy olyan ága, amely függvényeket és differenciálegyenleteket vizsgál sokaságon és vektorkötegeken [15] ; néha ezt az irányt "elosztók elemzésének" nevezik.

A globális elemzés egyik első területe a Morse-elmélet és annak alkalmazása a Riemann-féle sokaságok geodéziai problémáira ; Az irányt "általános eltérésszámításnak" nevezték. A fő eredmények a Morse-lemma , amely leírja a sima függvények viselkedését sima sokaságokon nem degenerált szinguláris pontokon, és egy olyan homotópiainvariáns, mint a Lyusternik-Shnirelman kategória . A konstrukciók és állítások közül sok a végtelen dimenziós sokaságok esetére általánosítható ( Hilbert sokaságok , Banach sokaságok ). A szinguláris pontok globális elemzése során kapott eredmények széles körben alkalmazhatók tisztán topológiai problémák megoldásában, mint például a Bott-féle periodicitástétel , amely nagyrészt a matematika- elmélet egy önálló szakaszának alapjául szolgált. , valamint a -kobordizmus tétele, aminek a következménye a Poincaré-sejtés teljesülése 4-nél nagyobb dimenziókra.

A globális elemzés területeinek egy másik fő blokkja, amelyet a fizikában és a közgazdaságtanban széles körben használtak, a szingularitások elmélete , a bifurkációk elmélete és a katasztrófaelmélet ; a kutatás fő iránya ebben a blokkban a differenciálegyenletek vagy függvények viselkedésének osztályozása a kritikus pontok közelében, és a megfelelő osztályok jellemző tulajdonságainak azonosítása.

Nem szabványos elemzés

A nem szabványos elemzés az elemzés kulcsfogalmainak matematikai logika segítségével történő formalizálása , a fő gondolat a végtelenül nagy és végtelenül kicsi értékek formális aktualizálása és a velük végzett manipulációk logikai formalizálása. Ugyanakkor a nem szabványos elemző eszközök nagyon kényelmesnek bizonyulnak: olyan eredményeket kaptak, amelyeket korábban a klasszikus eszközökkel a láthatóság hiánya miatt nem találtak [5] .

A nem szabványos elemzés két területre oszlik: szemantikai, modellelméleti eszközöket használó és szintaktikai, a szabványos halmazelmélet különféle kiterjesztését használva . A szemantikai irány a lokális Maltsev-tételen alapul , amely lehetővé teszi a tulajdonságok átvitelét a modellek lokális részeiről a teljes modellre [16] . A nem szabványos elemzés szemantikai irányának van egy nagy független ága – a Boole-féle értékű elemzés, amely a logikai értékmodell [17] koncepciója köré épül fel . A szintaktikai irány a belső halmazok elméletén alapul, melynek kulcsgondolata a nem szabványos elemek fogalmának és a standarditási predikátum bevezetése, valamint a benne rejlő tulajdonságaik axiomatizálása. A szintaktikai formalizálás másik változata az alternatív halmazelmélet [18] .

Alkalmazások

Jegyzetek

  1. ↑ Matematika, 1956 , 7. §. Modern matematika // A. D. Aleksandrov, p. 55.
  2. ↑ Dieudonné, 1981 , 1. §. Fredholm felfedezése, p. 97.
  3. ↑ Dieudonné, 1981 , V. fejezet: Kulcsfontosságú évek és a Hilbert-tér meghatározása, p. 97.
  4. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , ... a nem szabványos elemzést meglehetősen finom, sőt egzotikus logikai technikának tekintették, amely a tényleges végtelenül nagy és végtelenül kicsi számok módszerének igazolására szolgál <...> A 70-es évek végén, A belső halmazok elméletének E. Nelson (valamint valamivel később K. Hrbachek és T. Kawai külső halmazelmélete) publikálása után a nem szabványos elemzés helyéről és szerepéről alkotott nézetek gyökeresen gazdagodtak és megváltoztak. Az új felfedezések fényében lehetővé vált, hogy a nem szabványos elemeket <...> bármely ismert matematikai objektum szerves részének tekintsük. Felmerült egy attitűd, amely abból állt, hogy minden halmazt szabványos és nem szabványos elemek alkotnak, p. viii.
  5. ↑ 1 2 Elemzés (matematika rész) - cikk a Mathematical Encyclopedia -ból . Dragalin A. G. N. a segítségével. számos új tényt fedeztek fel. Sok klasszikus. A nem szabványos elemzési módszerekkel bemutatott bizonyítékok észrevehetően javulnak az egyértelműségben
  6. ↑ A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze. Bevezetés a logikai értékű elemzésbe. — M .: Nauka, 2005. — 526 p. — ISBN 5-02-033710-2 .
  7. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , Az irracionális számok szigorú aritmetikai elméletén és halmazelméletén alapuló matematikai elemzés szisztematikus felépítésének eredményeként a matematikának egy új ága jött létre - a valós változó függvényeinek elmélete.
  8. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , egy valós változó függvényelméletére jellemző az érdeklődés az általános elemzési fogalmak valós hatókörének teljes tisztázása iránt (a kidolgozásának legelején B. Bolzano és később K. Weierstrass például azt találta, hogy egy folytonos függvénynek egyik pontban sem lehet deriváltja).
  9. ↑ Függvényelmélet // Nagy szovjet enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
  10. ↑ Matematika, 1956 , 7. §. Modern matematika // A. D. Alexandrov), p. 56.
  11. ↑ Dieudonné, 1981 , A „funkcionális analízis” számos definícióját megadhatja. A neve utalhat arra, hogy a matematika minden olyan részét tartalmazza, amely függvényekkel foglalkozik, de ez gyakorlatilag az összes matematikai elemzést jelentené. Szűkebb definíciót alkalmazunk: számunkra ez a topológiai vektorterek és a topológiai vektortér egy részéből a topológiai vektortérbe történő leképezések tanulmányozása lesz, feltéve, hogy ezek a leképezések különféle algebrai és topológiai feltételeket teljesítenek, p. egy.
  12. ↑ Funkcionális elemzés // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
  13. ↑ Harmonikus analízis - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . E. M. Nyikitin
  14. ↑ Absztrakt harmonikus elemzés - cikk a Mathematical Encyclopedia -ból . E. A. Gorin, A. I. Stern
  15. ↑ Smale S. Mi az a globális elemzés?  (angol)  // American Mathematical Monthly. - 1969. - 1. évf. 76 , sz. 1 . - 4-9 . o . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
  16. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , A. Robinson A. I. Malcev lokális tételére támaszkodott, kiemelve azt az „elméletünk szempontjából alapvető jelentősége” eredményeként. tizenegy.
  17. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. xi.
  18. ↑ P. Vopenka. Matematika az alternatív halmazelméletben = Mathematics in The Alternative Set Theory / A. Dragalin fordítása. — M .: Mir, 1983. — 152 p. — (Új a külföldi matematikában). - 6000 példányban.

Irodalom

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
 A matematika ágai
"Tudomány" portál
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra
Számelmélet ( aritmetika )
  • "Matematika" portál
  • "Matematika" kategória