Vektorrács

A vektorrács ( -lineális , Rees tér , a korai orosz forrásokban - lineáris struktúra is ) egy valós vagy összetett vektortér , amelyet algebrai rács szerkezetével ruháznak fel . Először Rees vette figyelembe 1928 -ban, az erre épülő konstrukciók segítségével fontos eredmények születtek a funkcionális elemzésben . $K$

Egy vektorrács axiomatikusan definiálható egy vektortéren az elemek egy tetszőleges megkülönböztetett alosztályával , amelyeket pozitív elemeknek ( ) nevezünk, egy részleges sorrendű reláció bevezetésével a következőképpen: (ebben az esetben ), ha a következő feltételek is teljesülnek: $x$ $X_{+}\subset X$ ${\displaystyle 0\notin X_{+))$ ${\displaystyle x>y\Leftrightarrow xy\in X_{+))$ $x\in X_{+}\Rightarrow x>0$

ha , akkor $x>0$ $x\neq 0$
ha és akkor $x>0$ $y>0$ $x+y>0$
bármely két elemnek megvan a felsőbbsége , $x,y\X-ben$ $x\vee y$
ha és egy numerikus mező elemére , akkor [1] . $x>0$ $\lambda$ $\lambda>0$ $\lambda x>0$

Bármely vektorrács disztributív [2] .

A vektorrácsok egyik fontos tulajdonsága bármely elem ábrázolhatósága két pozitív elem különbségeként , ahol az elem pozitív részének nevezzük , és ez a negatív része. Ezekben a kifejezésekben egy elem moduljának fogalmát is a következőképpen vezetjük be: , és mindig teljesül . Egy vektorrácsban lévő halmaz korlátosításához szükséges és elegendő, hogy elemeinek modulhalmaza korlátos legyen [3] . $x\X-ben$ ${\displaystyle x=x_{+}-x_{-))$ $x_{+}=x\vee 0$ $x$ $x_{-}=(-x)\vee 0$ $|x|=x_{+}+x_{-}$ $x\leqslant x_{+}\leqslant |x|$ $U\in X$ $U^{*}=\{|x|,\,x\in U\}$

A funkcionális elemzésben különösen érdekesek a további térszerkezettel rendelkező vektorrácsok, például a Banach-rácsok [4] .

Jegyzetek

↑ Vulikh, 1961 , p. 59-60.
↑ Vulikh, 1961 , p. 69-69.
↑ Vulikh, 1961 , p. 68.
↑ Bukhvalov, 1979 .

Irodalom

A. V. Bukhvalov, A. I. Veksler, G. Ya. Lozanovsky. Banach-rácsok – Az elmélet néhány Banach-aspektusa // Előrelépések a matematikai tudományokban . - 1979. - T. 34 , 2. szám (206) . – S. 137–183 .
Vulikh B. Z. III. fejezet. Lineáris szerkezetek // Bevezetés a félig rendezett terek elméletébe. - M. : Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó, 1961. - 408 p. - 9000 példány.