Korlátozás

A korlátosság a matematikában a halmazok tulajdonsága , amely a méret végességét jelzi a tér kategóriája által meghatározott kontextusban.

A kezdeti fogalom egy korlátozott számhalmaz, ilyen a valós számok halmaza , amelyre vannak olyan számok , amelyek bármelyikére előfordul : , vagyis teljes egészében a szegmensben található . A és számokat ebben az esetben a halmaz alsó , illetve felső határának nevezzük . Ha csak alsó vagy felső korlát van, akkor alul , illetve felett korlátos halmazról beszélünk . $B\subset \mathbb {R}$ $m,M\in \mathbb {R}$ $x$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m, M]$ $m$ $M$ $x$

A fent határolt numerikus halmaznak pontos felső korlátja van, alulról korlátosnak pontos alsó korlátja (éltétel). Pontok véges halmaza , a numerikus tengely intervalluma (ahol véges számok vannak), korlátos halmazok véges uniója - korlátos halmazok; az egész számok halmaza korlátlan ; a természetes számok halmaza a valós számrendszer szempontjából alulról korlátos, felülről korlátlan. $[a,b]$ $a,b$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

A korlátos numerikus függvény olyan függvény , amelynek értéktartománya korlátozott, vagyislétezik olyan,hogyaz egyenlőtlenség mindenre érvényes. Konkrétan a korlátos numerikus sorozat olyan sorozat , amelyre létezikolyan,hogy. $f\colon D\to \mathbb {R}$ $f(D)$ $m$ $x$ $|f(x)|\leqslant m$ $(a_{i})$ $m\in \mathbb {R}$ $i \in \N$ $|a_{i}|\leqslant m$

Általánosítások

A numerikus korlátok általánosabb terekre vonatkozó általánosításai eltérőek lehetnek. Így a tetszőleges, részben rendezett halmazok részhalmazaira a numerikus definíció természetes módon átmegy (mivel a definíció csak a sorrendi relációt igényli ).

Egy mező feletti topológiai vektortérben a nulla bármely környezete által elnyelt bármely halmaz korlátosnak tekinthető , vagyis ha létezik olyan, hogy . A topológiai vektorterek korlátos operátora a korlátos halmazokat korlátossá teszi. $E$ $k$ $B$ $\alpha \in k$ ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0))$

Egy tetszőleges metrikus tér esetén a véges átmérőjű halmazokat korlátosnak , azaz korlátosnak tekintjük , ha természetesen. Ugyanakkor az általános metrikus terekben lehetetlen bevezetni a felső és alsó korlát fogalmát. ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ $B\subseteq M$ ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\))$

Egy speciálisabb fogalom, amely tetszőleges metrikus terekre is kiterjed, a teljes korlátosság ; a numerikus halmazok és az euklideszi terek esetében ez a fogalom egybeesik a korlátos halmaz megfelelő fogalmaival. A metrikus terekben a topológiai tömörség egyenértékű azzal, hogy egyszerre teljesen korlátos és teljes , és bár a korlátosság fogalma nem terjed ki tetszőleges topológiai terekre , a tömörség általános esetben a korlátoltság analógjának tekinthető.

Irodalom

Korlátozott halmaz – Matematikai enciklopédia cikk . M. I. Voitsekhovsky