Zárt kezelő

A funkcionális elemzésben a zárt operátorok a korlátlan operátorok fontos osztálya , sokkal szélesebb, mint a korlátos , azaz folytonos operátorok osztálya. Nem kell zárt operátort definiálni a teljes téren. A zárt operátorok kellően jó tulajdonságokkal rendelkeznek ahhoz, hogy be tudják vezetni spektrumukat , funkcionális kalkulust és (speciális esetekben) teljes spektrumelméletet készítsenek. A zárt operátorok fontos példája a derivált és sok differenciális operátor .

Legyen egy lineáris operátor a Banach-terek között , amely valamely lineáris altérben van definiálva a -ban . Zártnak [1] -nek nevezzük, ha a gráfja zárt -ben , azaz bármely sorozatra, ha igaz, hogy és , akkor és . $A\colon D(A)\subset X\to Y$ $D(A)$ $x$ $X \x Y$ $x_{n}\in D(A)$ $x_{n}\to x\in X$ $A(x_{n})\to y\in Y$ $x\in D(A)$ $A(x)=y$

A zárt lineáris operátor fogalma a lineáris folytonos operátor fogalmának általánosítása: minden lineáris folytonos operátor zárt.

Zárt lineáris operátor tulajdonságai

Ha egy zárt operátor invertálható, akkor zárt. Ennek következtében minden reverzibilis lineáris folytonos operátornak van egy zárt inverz operátora. $A$ $A^{{-1}}$
Ha egy Banach-térben mindenhol definiálva van egy zárt lineáris operátor a térbeli értékekkel , és létezik olyan pozitív állandó , hogy bármelyik mindenütt sűrű halmazhoz , akkor az operátor korlátos. $A$ $x$ $Y$ $c$ $\|Ax\|\leq c\|x\|$ $x$ $A$
Banach zárt gráf tétele . Ha mindenre van definiálvaegy zárt operátor, akkor korlátos. $A:X\to Y$ $x$
Ha egy zárt operátor, egy mértékkel rendelkező tér, és a , függvények erősen mérhetők , akkor (a Bochner-integrálok egyenlősége ). $A\colon X\to Y$ $(E,{\mathcal {B)),\mu )$ $x\colon E\to X$ $Ax\colon E\to Y$ $A\int x(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int Ax(t)\mathrm {d} \mu$

Példák zárt, de korlátlan operátorokra

A példákban és olyan függvényterek, amelyek folytonosak és korlátosak egy szakaszon és egy sugáron $C[0,1]$ $C_{0}[0,\infty )$ $[0,1]$ $[0,\infty)$

Differenciálási operátor , tartomány - , értékekkel -ban . ${\frac {d}{dt}}:C[0,1]\to C[0,1]$ $C^{1}[0,1]$ $C[0,1]$

Koordináta-szorzó operátor $A:C_{0}[0,\infty )\to C_{0}[0,\infty )$

A(x)=tx(t)

. Az operátor tartománya olyan függvényekből áll, amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget , ahol attól függ .

A

|x(t)|\leq {\frac {c}{1+t))

c

x(t)

Jegyzetek

↑ Yoshida K. Funkcionális elemzés. - M .: Mir, 1967. - S. 114.

Irodalom

Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funkcionális elemzés és alkalmazásai a kontinuummechanikában. - M . : Vuzovskaya könyv, 2000 . — 320 s.
Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.