Operátor elmélet

Az operátorelmélet a funkcionális elemzés egyik ága , amely a normált terek közötti folytonos lineáris leképezés tulajdonságait vizsgálja . Általánosságban elmondható, hogy az operátor a legközönségesebb függvény vagy mátrix analógja egy véges dimenziós térben. De az operátor végtelen dimenziós terekben is cselekedhet.

A vektortérről vektortérre való leképezést lineáris if operátornak nevezzük bármely és in és tetszőleges skalárokhoz és . Gyakran ahelyett írják . Egy normált térből egy normált térbe tartó lineáris operátort korlátosnak mondunk, ha létezik olyan pozitív valós szám , hogy mindenre -ben . A legkisebb állandót , amely kielégíti ezt a feltételt , az operátor normájának nevezzük, és jelöli . Könnyen belátható, hogy a normált terek közötti lineáris operátor akkor és csak akkor korlátos, ha folytonos . Az "operátor" kifejezés a funkcionális elemzésben általában korlátos lineáris operátort jelent . $T$ $x$ $Y$ $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ $x$ $y$ $x$ $\alpha$ $\beta$ $Tx$ $T(x)$ $x$ $Y$ $M$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $x$ $x$ $M$ $T$ $\lVert T\rVert$

Az összes (korlátos lineáris) operátor halmazát egy normált térből egy normált térbe jelöljük . Abban az esetben, ha a helyett írnak . Ha Hilbert szóköz , akkor általában a helyett írunk . A -n bevezethetjük egy vektortér szerkezetét és -on keresztül , ahol , , és tetszőleges skalár. A bevezetett operátori normával normált térré alakul . $x$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $x,\;y\X-ben$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$

Különösen, és bármilyen és tetszőleges skalárhoz . A szóköz akkor és csak akkor Banach , ha Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Legyen és legyen normált terek, és . Az és összetételt az és operátorok szorzatának nevezzük és jelöljük . Ugyanakkor és . Ha egy Banach-tér , akkor egy szorzattal felszerelve egy Banach-algebra . $X,\;Y$ $Z$ $S\in L(X,\;Y)$ $T\in L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\in L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $x$ $L(X)$

Az operátorelméletnek több fő része van:

A spektrumelmélet egy operátor spektrumát vizsgálja .
Operátori osztályok. Különösen a kompakt operátorok , Fredholm operátorok , izomorfizmusok , izometriák , szigorúan szinguláris operátorok stb. Tanulmányozzák a korlátlan operátorokat és a részlegesen definiált operátorokat, különösen a zárt operátorokat .
Kezelők speciális normatív tereken.
- A Hilbert-tereken önadjungált , normál , unitárius , pozitív operátorokat stb.
- Függvénytereken: differenciál , pszeudo -differenciális , integrál és pszeudo-integrál operátorok ; a szorzás , behelyettesítés , súllyal való helyettesítés stb. operátorai .
- Banach-rácsokon : pozitív operátorok , reguláris operátorok stb.
Operátorhalmazok (vagyis részhalmazok ): operátoralgebrák , operátor félcsoportok stb. $L(X)$
Az invariáns alterek elmélete .

Irodalom

Sadovnichiy V. A. Az operátorok elmélete. - M .: Moszkvai Kiadó. un-ta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Lineáris operátorok. Általános elmélet. — M.: IL, 1962. — 896 p.
Dunford N., Schwartz J. Lineáris operátorok. Spektrális elmélet. — M.: Mir. 1966. - 1064 p.