Banach algebra

A komplex vagy valós mező feletti Banach-algebra egy asszociatív algebra , amely egy Banach-tér . Ebben az esetben a szorzásnak összhangban kell lennie a normával:

\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|

Ez a tulajdonság szükséges a szorzási művelet folytonosságához a normához képest.

A Banach-algebrát unitális vagy egységgel rendelkező Banach - algebrának nevezzük, ha van egysége (vagyis olyan eleme , amely mindenre igaz ). Ebben az esetben általában megkövetelik, hogy az egységnorma 1 legyen. Ha létezik egység, akkor az egyedi. Bármely Banach-algebra izometrikusan beágyazható a megfelelő unitális Banach-algebrába zárt kétoldali ideálként . $\mathbf{1}$ $x\in A$ $x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$ $A$ $A_e$

Egy Banach-algebrát kommutatívnak mondunk , ha a szorzás művelete kommutatív .

Példák

Komplex számok vagy valós számok mezői - és az összeadás és szorzás standard műveletei tekintetében. Ezek unitális kommutatív algebrák. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$
Komplex vagy valós mátrixok algebrái a mátrixszorzás és a szubmultiplikatív mátrixnorma tekintetében .
A kvaternió algebra valódi algebra normával, modulussal.
$C(\Omega)$ a folytonos függvények algebrája egy kompakt halmazon a szupranormához viszonyított pontszerű szorzáshoz . Egy általánosabb példa az összetett értékű függvények tere, amelyek végtelenben eltűnnek, ahol egy lokálisan kompakt tér . $C_0(\Omega)$ $\Omega$
Korlátozott operátorok algebrája , Banach-térre hatva, az operátornorma és az összetétel, mint szorzás tekintetében. Az azonos műveletekre vonatkozó kompakt operátorok halmaza zárt ideál ebben az algebrában.
Ha egy lokálisan kompakt Hausdorff - topológiai csoport Haar-mértékkel , akkor a mértékkel integrálható komplex értékű függvények Banach-tere egy Banach-algebra a szorzás-konvolúció tekintetében, amelyet a képlet határoz meg. $G$ $\mu$ $L_1(G)$ $\mu$ $G$

(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \in G

$L_1(\mathbb R)$ a konvolúcióval , mint szorzással összeadható függvények algebra. Ez az előző példa speciális esete.
A C*-algebra egy algebra * -involúcióval , amely kompatibilis a normával: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Tulajdonságok

Egyes elemi függvények hatványsorokkal definiálhatók a Banach-algebra elemeihez. Konkrétan meg lehet határozni egy Banach-algebra elemének kitevőjét , trigonometrikus függvényeket és általában bármely teljes függvényt . A Banach-algebra elemei esetében a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képlete ( a Neumann-sor ) érvényben marad .

Az algebra invertálható elemeinek halmaza nyílt halmaz . Ezenkívül az a leképezés , amely minden invertálható elemet inverzhez társít, egy homeomorfizmus . Tehát egy topológiai csoport. $\mathrm{Inv}(A)$ $A$ $\mathrm{Inv}$ $\mathrm{Inv}(A)$

Uniális algebrában az egység nem lehet kommutátor : tetszőleges x esetén y ∈ A. Ebből következik, hogy szintén nem kommutátor. $xy - yx \ne \mathbf{1}$ $\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$

Érvényes a Gelfand – Mazur tétel : minden unitális komplex Banach-algebra, amelyben minden nem nulla elem invertálható, izomorf . $\mathbb {C}$

Spektrálelmélet

Az unitális Banach-algebrákban bevezetik a spektrum fogalmát, amely kiterjeszti az operátor spektrumának fogalmát az objektumok egy általánosabb osztályára.

Az algebra egy elemét invertálhatónak mondjuk , ha van olyan elem , amely . Egy elem spektruma az a halmaz, hogy az elem visszafordíthatatlan. Az unitális komplex Banach-algebra bármely elemének spektruma egy nem üres kompakt halmaz. Másrészt bármely kompakt halmaznál a képlettel definiált algebrából származó elem spektruma egybeesik -vel , így egy tetszőleges Banach-algebra elem spektrumára nincs egyéb korlátozás. $a\in A$ $A$ $a^{-1} \in A$ $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ $\sigma(a)$ $a$ $\lambda \in \mathbb{C},$ $a-\lambda \mathbf{1}$ $K \részhalmaz \mathbb{C}$ $w$ $C(K)$ $w(z)=z$ $K$

Egy elem spektrális sugara a mennyiség $\mathrm{r}(x)$ $x\in A$

\mathrm{r}(x) = \up \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}

A spektrális sugárra vonatkozó Beurling - Gelfand képlet érvényes :

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

Egy elem feloldó halmazát halmaznak nevezzük . A Banach-algebra elemeinek felbontási halmaza mindig nyitott. Egy elem rezolvenciája a képlettel meghatározott komplex változó függvénye . A Banach-algebra elemeinek rezolvenciája egy holomorf függvény . $a\in A$ $\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ $a\in A$ $R_a \kettőspont \rho(a) \-A$ $R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$

Ha egy holomorf függvény a spektrum szomszédságában van, akkor a képlettel határozható meg $f$ $D\alhalmaz {\mathbb {C}}$ $\sigma(a)$ $f(a) \-ben A$

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda

ahol az elem spektrumát tartalmazó, pozitívan orientált egyenirányítható Jordan-kontúr található , és az elem rezolválója . Ez a képlet különösen használható egy elem kitevőjének meghatározására egy Banach-algebrából. $\gamma$ $D$ $x$ $R_{a}$ $a$

Ideálok és karakterek

Legyen A egy unitális kommutatív Banach-algebra a komplex számok területén. Az A algebra χ karaktere egy nullától eltérő lineáris függvény , amelynek multiplikatív tulajdonsága van: bármely a esetén b ∈ A χ( ab ) = χ( a )χ( b ) és χ( 1 ) = 1 igaz. Vagyis egy karakter az A és algebrák nullától eltérő homomorfizmusa . Ellenőrizhető, hogy a Banach-algebrában minden karakter folytonos és normája 1. $\mathbb {C}$

A karaktermag a maximális ideális A -ban . Ha egy maximális ideál, akkor a hányados algebra egy mező és egy Banach-algebra, akkor a Gelfand-Mazur tétel szerint izomorf -val . Ezért minden maximális ideálhoz hozzá lehet rendelni egy egyedi χ karaktert úgy, hogy ker χ = . Ez a karakter egy faktorleképezés és egy izomorfizmus összetételeként definiálható . Így bijekció jön létre a karakterkészlet és a maximális ideálok halmaza között . $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$

Az összes karakter halmazát a maximális ideálok terének vagy az A algebra spektrumának nevezzük, és Spec A -nak jelöljük . Ez a halmaz felruházható a gyenge* topológiából (a pontszerű konvergencia topológiájából) örökölt topológiával az A * kettős térben . A Banach-Alaoglu tételből és a Spec A zártságából következik, hogy Spec A egy kompakt Hausdorff topológiai tér .

Az A algebra egy elemének Gelfand-transzformációja egy folytonos függvény , amelyet a képlet definiál minden χ karakterre. A Gel'fand transzformáció végrehajtja az A algebra kontrakciós homomorfizmusát a folytonos függvények C(Spec A) algebrájává egy kompakt halmazon. $a$ $\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ $\hat{a}(\chi) = \chi(a)$

Az A algebra gyökeaz összes maximális ideál metszéspontja. Ha a gyök csak nullából áll, akkor az A algebrát félig egyszerűnek mondjuk. A Gelfand-transzformáció magja egybeesik az algebra gyökével, így a Gelfand-transzformáció akkor és csak akkor injektív , ha az A algebra félig egyszerű. Így bármely félig egyszerű kommutatív Banach-algebra, amelynek egysége van, egészen izomorfizmusig egybeesik egy kompakt halmazon folytonos függvényalgebrával – a Gelfand-transzformáció képével.

Irodalom

Naimark M. A. Normed gyűrűk. — M .: Nauka, 1968. — 664 p.
Helemsky A. Ya. Előadások a funkcionális elemzésről. - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Helemsky A. Ya. Banachok és polinormált algebrák: általános elmélet, reprezentációk, homológia. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014192-5 .