Elemi funkciók

Az elemi függvények olyan függvények , amelyek véges számú aritmetikai művelettel és kompozíciókkal nyerhetők a következő alapvető elemi függvényekből [1] :

hatványfüggvény bármilyen valós kitevővel;
exponenciális és logaritmikus függvények;
trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények.

Minden elemi függvény egy képlettel definiálható, azaz véges számú szimbólum halmazával, amely megfelel az alkalmazott műveleteknek. Minden elemi függvény folytonos a definíciós tartományában.

Néha az alapvető elemi függvények közé tartoznak a hiperbolikus és inverz hiperbolikus függvények is, bár ezek a fent felsorolt alapvető elemi függvényekkel is kifejezhetők.

Elemi függvények Liouville szerint

Egy komplex változó függvényeit tekintve Liouville valamivel tágabban határozta meg az elemi függvényeket. A változó elemi függvénye egy analitikus függvény , amely algebrai függvényként is ábrázolható , továbbá: $y(x)$ $x$ $y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),$

$z_{1}$ valamilyen algebrai függvény logaritmusa vagy kitevője $g_{1}(x),$
$z_{2}$ valamilyen algebrai függvény logaritmusa vagy kitevője $g_{2}(x,z_{1}),$

...

${\displaystyle z_{r))$ valamilyen algebrai függvény logaritmusa vagy kitevője $g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).$

Például ebben az értelemben elemi függvény, mivel az exponenciális függvény algebrai függvénye $y(x)=\sin(x)$ $e^{ix}:$

\sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.

Általánosságban elmondható, hogy a jelzett azonosság használatával minden trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvény logaritmusokkal, exponenciálisokkal, aritmetikai műveletekkel, valamint négyzetgyök vételi művelettel is kifejezhető. Természetesen ez a képzeletbeli egységet fogja használni $i={\sqrt {-1)).$

A függvény szintén elemi, mivel a következőképpen ábrázolható: $y(x)=e^{e^{x))$

y(x)=\phi (x,z_{1},z_{2}),

ahol

z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1)),\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2} .

Az általánosság elvesztése nélkül a függvények algebrailag függetlennek tekinthetők. Ez azt jelenti, hogy az algebrai reláció csak akkor állhat fenn mindenkire , ha a polinom együtthatói egyenlők nullával. $z_{1},\pontok,z_{r}$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})=0$ $x$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})$

Az elemi függvények differenciálása

Az elemi függvény deriváltja mindig elemi függvény, és véges számú lépésben megtalálható. Mégpedig egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint

y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\pontok ,z_{r})={\frac {\partial \phi }{\partial x}} +\sum \limits _{{i=1}}^{r}{\frac {\partial \phi }{\partial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},

ahol egyenlő vagy vagy attól függően, hogy a logaritmus vagy kitevő, stb. A gyakorlatban célszerű a derivált táblázatot használni . $z_{1}'(z)$ $g_{1}'/g_{1}$ $z_{1}g_{1}'$ $z_{1}$

Elemi függvények integrációja

Egy elemi függvény integrálja önmagában nem mindig elemi függvény. A leggyakoribb függvények, amelyek integráljai megtalálhatók, az integrálok táblázatában találhatók . Általános esetben az elemi függvények integrálásának problémáját a Risch-algoritmus oldja meg , Liouville tétele alapján:

Liouville tétele . Ha egy elemi függvény integrálja maga is elemi függvény, akkor úgy ábrázolható $y=\phi (x,z_{1},\pontok z_{r})$

\int \phi (x,z_{1}(x),\pontok ,z_{r}(x))\,dx=\sum \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i }(x,z_{1},\pontok z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\pontok ,z_{r})+C,

ahol néhány komplex szám és argumentumaik algebrai függvényei . $A_{i}$ $\psi _{i}$

Liouville ennek a tételnek a bizonyítását a következő elvre alapozta. Ha az integrált elemi függvényekben vesszük, akkor $y$

\int \phi (x,z_{1}(x),\pontok z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\pontok z_{s}(x) ))+\operátornév {const}

ahol egy algebrai függvény, egy algebrai függvény logaritmusa vagy kitevője , stb. A függvények algebrailag függetlenek, és eleget tesznek az alábbi alakú differenciálegyenlet-rendszernek $\psi$ $z_{{r+1}}$ $x,z_{1},\pontok z_{r}$ $z_{1},\pontok z_{s}$

z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\pontok ,z_{s}),\pontok

hol vannak argumentumaik algebrai függvényei. Ha ennek a rendszernek egy megoldáscsaládja, akkor $\rho _{i}$ $z_{1}=z_{1}(x,C),\pontok$

\int \phi (x,z_{1}(x,C),\pontok )\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C) )+\operátornév {const}

ahol

\psi (x,z_{1}(x),\pontok )=\psi (x,z_{1}(x,C),\pontok z_{s}(x,C))+f(C)

Egyes integrálosztályok esetében ez a tétel nagyon egyszerűvé teszi az integrációs probléma elemi függvényekben való megoldhatóságának tanulmányozását.

Az űrlap függvényeinek integrálása $p(x)e^{{q(x)}}$

Liouville tételének következménye (lásd Ritt, 47. és azt követő oldalak). Ha az integrál

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx,

ahol polinomok vannak, elemi függvényekben veszik, akkor $p,q$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}

ahol a differenciálegyenletet kielégítő polinom is található $r(x)$

r'+q'(x)r=p(x)

Példa . Különösen az integrál

\int e^{{x^{2}}}\,dx

nem veszik, mert a helyettesítés

r=Ax^{n}+\dots \quad (A\not =0)

az egyenletbe

r'+2xr=1

ad . Az integrál $A=0$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx

vett, mert

r'+2xr=x

van megoldása . Ugyanakkor természetesen $r=1/2$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx={\frac {e^{{x^{2}}}}{2}}+\operátornév {const}

A következmény bizonyítéka . Liouville tétele szerint

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,e^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,e^{{q(x)}})+\operátornév {const}

Ekkor a Liouville-elv alapján egy tetszőleges állandóra megvan $C$

\int p(x)Ce^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,Ce^{{q(x)}})+f(C)

Tekintettel differenciálva és feltételezve azt látjuk, hogy az integrál algebrai kifejezésekkel fejeződik ki , azaz. $C$ $C=1$ $x,e^{{q(x)}}$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi (x,e^{{q(x)}}).

Ismét a Liouville-elvet alkalmazva, megvan

C\psi (x,e^{{q(x)}})=\psi (x,Ce^{{q(x)}})+f(C).

Megkülönböztetve és feltételezve , megvan $C$ $C=1$

\psi (x,z)=z{\frac {\partial \psi (x,z)}{\partial z))+B\quad (B=\operátornév {const})

mert , és ennélfogva az algebrai függetlensége miatt mindenre . Ezért $z=e^{{q(x)}}$ $x,e^{{q(x)}}$ $x,z$

\psi(x,z)=-B+zr(x),

hol van valami algebrai függvény . Ily módon $r$ $x$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}+\operátornév {const},

Mivel maga az integrál nyilvánvalóan egy teljes függvény , ezért polinom. A következmény bizonyított. $x$ $r$

Algebrai függvények integrálása

A legnehezebb az algebrai függvények elemi függvényeibe való integrálásának kérdése, vagyis az Abeli-integrálok felvétele volt, amely Weierstrass , Ptashitzky [2] és Risch [3] kiterjedt tanulmányainak tárgya .

Liouville tétele az alapja az elemi függvények szimbolikus integrálására szolgáló algoritmusok létrehozásának, amelyeket például a Maple programban valósítottak meg .

Lásd még: Elemi függvények integráljainak listája

Határértékek számítása

Liouville elmélete nem terjed ki a határértékek kiszámítására . Nem tudni, hogy létezik-e olyan algoritmus, amely az elemi képlet által adott sorozatot figyelembe véve választ ad, van-e korlátja vagy nincs. Például nyitott az a kérdés, hogy a sorozat konvergál-e . [négy] ${\frac {1}{n^{3}\sin n}}$

Lásd még

Differenciál Galois elmélet

Jegyzetek

↑ Elemi matematika, 1976 , p. 113-114..
↑ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Művészet. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901)
↑ Davenport J. Algebrai függvények integrálása. Ch. 4. M., Mir, 1985
↑ Kérdések és válaszok

Irodalom

Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Khovansky A. G. Topológiai Galois-elmélet: az egyenletek megoldhatósága és megoldhatatlansága végső formában . Ch. 1. M, 2007
Liouville J. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes (hozzáférhetetlen hivatkozás) // J. Reine Angew. Math. bd. 13. o. 93-118. (1835)