Algebrai függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az algebrai függvény egy olyan elemi függvény , amely a definíciós tartomány minden pontjának közelében implicit módon megadható egy algebrai egyenlet segítségével .

Formális meghatározás:

Egy függvényt algebrainak nevezünk egy pontban , ha létezik annak a pontnak a szomszédsága, ahol az azonosság található $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $A=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $A$

P(F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0.

ahol egy polinom egy változóban. $P$ $n+1$

Egy függvényt algebrainak nevezünk, ha tartományának minden pontján algebrai.

Például egy valós változó függvénye algebrai egy intervallumon a valós számok mezőjében , mivel kielégíti az egyenletet $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $(-1,1)$

F^{2}+x^{2}=1.

A függvénynek van analitikus folytatása a komplex síkra , egy kivágott szegmenssel vagy két kivágott sugárral és . Ebben a tartományban egy komplex változó eredményül kapott függvénye egyszerre algebrai és analitikus . $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $[-1,1]$ $(-\infty ,-1]$ $[1,\infty )$

Ismeretes, hogy ha egy függvény egy pontban algebrai, akkor egy adott pontban analitikus is. Ennek a fordítottja nem igaz. Az analitikus, de nem algebrai függvényeket transzcendentálisnak nevezzük .

Különleges esetek

Az algebrai függvények speciális esetei a következők:

Algebrai és transzcendentális számok

Azokat a valós számokat, amelyek valamilyen racionális együtthatóval rendelkező algebrai egyenlet gyökere, algebrainak nevezzük . Azokat a valós számokat, amelyek nem a racionális együtthatókkal rendelkező algebrai egyenlet gyökerei, transzcendentális számoknak nevezzük .

Minden racionális szám algebrai. Az irracionális számok között vannak algebrai és transzcendentális számok is. Például egy algebrai irracionális szám, és egy transzcendentális irracionális szám. ${\sqrt {2}}$ $\pi$

Lásd még

Irodalom

Golubev VV Előadások a differenciálegyenletek analitikai elméletéről. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 p.