Racionális szám

A racionális szám (a latin ratio szóból „arány, osztás, tört”) egy közönséges törtként ábrázolható szám , ahol egy egész szám , és egy természetes szám [1] . Például ahol , a . A tört fogalma több ezer évvel ezelőtt merült fel, amikor bizonyos mennyiségek (hossz, súly, terület stb.) mérésének szükségességével szembesülve az emberek rájöttek, hogy az egész számok nem elegendőek, és be kell vezetni a tört fogalmát. tört: fél, harmad stb. A törteket és a rájuk vonatkozó műveleteket például a sumérok , az ókori egyiptomiak és a görögök használták . ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ ${\frac {2}{3))$ $m=2$ $n=3$

A racionális számok halmaza

A racionális számok halmazát jelöljük (a latin hányadosból , "privát"), és a következő formában írható fel: $\mathbb {Q}$

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} \jobbra\}.

Kiderült, hogy különböző bejegyzések képviselhetik ugyanazt a törtet, például és , (az összes olyan tört, amelyet a számláló és a nevező ugyanazon természetes számmal való szorzásával vagy osztásával kaphatunk egymástól, ugyanazt a racionális számot jelenti). Mivel ha egy tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a legnagyobb közös osztójukkal , akkor a racionális szám egyetlen irreducibilis reprezentációját kaphatjuk meg, a halmazuk a másodlagos egész számlálóval és természetes nevezővel rendelkező irreducibilis törtek halmazának tekinthető: ${\frac {3}{4))$ ${\frac {9}{12}}$

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ \gcd(m, n)=1\jobbra\}.

Itt van a számok legnagyobb közös osztója és . $\gcd(m,n)$ $m$ $n$

A racionális számok halmaza az egész számok halmazának természetes általánosítása . Könnyen belátható, hogy ha egy racionális számnak van nevezője , akkor az egész szám. $a={\frac {m}{n}}$ $n=1$ $a=m$

A racionális számok halmaza mindenütt sűrű a számtengelyen : bármely két különböző racionális szám között van legalább egy racionális szám (és így a racionális számok végtelen halmaza). Kiderült azonban, hogy a racionális számok halmazának megszámlálható számossága van (vagyis minden eleme átszámozható). Az ókori görögök óta ismert volt, hogy léteznek olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni: különösen bebizonyították, hogy nem racionális szám. A racionális számok elégtelensége az összes mennyiség kifejezésére vezetett később a valós szám fogalmához . A valós számok halmazától eltérően (amely egydimenziós térnek felel meg ), a racionális számok halmazának mértéke nulla . ${\sqrt {2}}$

Terminológia

Formális definíció

Formálisan a racionális számokat a párok ekvivalenciaosztályainak halmazaként határozzuk meg az ekvivalenciarelációhoz képest, ha . Ebben az esetben az összeadás és szorzás műveletei a következők: ${\displaystyle \left\{(m,\;n)\mid m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\))$ $(m,\;n)\sim (m',\;n')$ $m\cdot n'=m'\cdot n$

$\left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+ m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\jobbra);$
$\left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2} ,\;n_{1}\cdot n_{2}\jobbra).$

A definícióból látható, hogy egyetlen összeadási vagy szorzási művelet sem vezet alakpár megjelenéséhez $(m,0).$

Kapcsolódó definíciók

Helyes, helytelen és vegyes törtek

Egy törtet helyesnek nevezünk, ha a számláló modulusa kisebb, mint a nevező modulusa. A megfelelő törtek racionális számokat jelentenek, modulo kisebb, mint egy . A nem megfelelő törtet helytelen törtnek nevezzük,és egy racionális számot jelent, amely nagyobb vagy egyenlő, mint egy in modulo.

A helytelen tört egy egész szám és egy megfelelő tört összegeként ábrázolható , amelyet vegyes törtnek nevezünk . Például, . A hasonló jelölést (hiányzó összeadásjellel), bár az elemi aritmetikában használják , a szigorú matematikai irodalomban kerülik, mivel a vegyes tört jelölése hasonló az egész szám tört szorzatának jelölésével. $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Lövés magassága

Egy közönséges tört magassága ennek a törtnek a számlálója és nevezője modulusának összege. Egy racionális szám magassága az ennek a számnak megfelelő irreducibilis közönséges tört számlálója és nevezője modulusának összege [2] .

Például, hogy megtudja egy tört magasságát, először egy irreducibilis törtet kell kivonnia belőle. Egy irreducibilis tört így fog kinézni: . Ezután össze kell adni a számláló és a nevező modulusát: . Tehát a tört magassága . $-{\frac {15}{6}}$ $-{\frac {5}{2}}$ $5+2=7$ $-{\frac {15}{6}}$ $7$

Kommentár

A törtszám (tört) kifejezés néhaA [ tisztázza ] a racionális szám kifejezés szinonimájaként , néha pedig bármely nem egész szám szinonimájaként használatos. Ez utóbbi esetben a törtszám és a racionális szám más-más dolog, hiszen akkor a nem egész racionális számok csak a törtszámok speciális esetei.

Tulajdonságok

Alaptulajdonságok

A racionális számok halmaza tizenhat olyan alaptulajdonságnak tesz eleget , amelyek az egész számok tulajdonságaiból könnyen megszerezhetők . [3]

Rendezettség . Bármely racionális számhozés( ) létezik egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyedileg azonosítsa a három reláció egyikét és csak az egyiket: "", "" vagy "". Ezt a szabályt rendezési szabálynak nevezik,és a következőképpen van megfogalmazva: $a$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $<$ $>$ $=$
- két nem negatív szám , és ugyanazzal a relációval vannak kapcsolatban, mint két egész szám és ; $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}$ $b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}$ $m_{a}\cdot n_{b}$ $m_{b}\cdot n_{a}$
- két negatív szám , és ugyanazzal az összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz, mint két nem negatív szám és ; $a$ $b$ $\left|b\right|$ $\left|a\right|$
- ha nem negatív, és negatív, akkor . $a$ $b$ $a>b$
összeadás művelet . Bármelyés() racionális számra létezik egy bináris összeadási művelet , amely valamilyen racionális számhoz társítja őket. Ebben az esetben magát a számota számok összegének nevezzükésés jelöléssel , az ilyen szám megtalálásának folyamatát pedig összeadásnak nevezzük. Az összeadási szabály a következő formában van: $a$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $a$ $b$ $\left(a+b\jobb)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a+b\equiv {\ frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b }\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}$
szorzási művelet . Bármilyen racionális számhozés() létezik egy bináris szorzási művelet, amely valamilyen racionális számhoz társítja őket. Ebben az esetben magát a számota számokés a szorzatának nevezzükés jelöléssel, az ilyen szám megtalálásának folyamatát pedig szorzásnak is nevezzük . A szorzási szabály a következő: $a$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $a$ $b$ $\left(a\cdot b\right)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a\cdot b\equiv { \frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{ n_{a}\cdot n_{b}}}$
A sorrendi viszony tranzitivitása . A racionális számok bármely hármasára,és) hakisebbéskisebb, akkorkisebb, és haegyenlőésegyenlő, akkoregyenlő. $a$ $b$ $c$ $(\forall a,b,c\in \mathbb {Q}$ $a$ $b$ $b$ $c$ $a$ $c$ $a$ $b$ $b$ $c$ $a$ $c$ $a<b,\;b<c\;\Rightarrow a<c;\;\;\;a=b,\;b=c\;\Rightarrow a=c.$
Összeadás kommutativitása . A racionális kifejezések helyének változásától az összeg nem változik. $\forall a,b\in {\mathbb {Q}}~~a+b=b+a$
Az összeadás asszociativitása . A három racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$
A nulla jelenléte . Létezik egy 0 racionális szám, amely összegzéskor minden más racionális számot megtart. $\exists 0\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a$
Ellentétes számok jelenléte. Minden racionális számnak van egy ellentétes racionális száma, amelyet összeadva 0 lesz. $\forall a\in \mathbb {Q} ~\exists \left(-a\right)\in \mathbb {Q} :~~a+\left(-a\right)=0$
A szorzás kommutativitása. A racionális tényezők helyének megváltoztatásával a szorzat nem változik. $\forall a,b\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot b=b\cdot a$
A szorzás asszociativitása. A három racionális szám szorzásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)$
Egy egység jelenléte . Létezik egy racionális 1-es szám, amely minden más racionális számot megszoroz. $\exists 1\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a$
A reciprok jelenléte . Minden nullától eltérő racionális számnak van egy fordított racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk. $\forall a\in \mathbb {Q} ,\;a\neq 0~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} :~~a\cdot a^{-1}=1$
A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében. A szorzási művelet összhangban van az összeadási művelettel az eloszlási törvényen keresztül: $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
A rendelési viszony összekapcsolása az összeadás műveletével. Ugyanaz a racionális szám hozzáadható egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalához. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$
A sorrendi összefüggés kapcsolata a szorzás műveletével. Egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldala megszorozható ugyanazzal a pozitív racionális számmal. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ,\;c>0:a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c$
Arkhimédész axiómája . Bármi legyen is a racionális szám, annyi egységet vehet fel, hogy összegük meghaladja a. $a$ $a$ $\forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N} :~~\sum _{k=1}^{n}1>a\;\;\Longleftrightarrow \; \forall a\in \mathbb {Q} \;\exists n\in \mathbb {N} :n>a$

További tulajdonságok

A racionális számokban rejlő összes többi tulajdonságot nem emeljük ki alapvetőnek, mert általánosságban elmondható, hogy ezek már nem közvetlenül az egész számok tulajdonságain alapulnak, hanem az adott alaptulajdonságok alapján, vagy közvetlenül a számok definíciójával igazolhatók. valamilyen matematikai objektum. Nagyon sok ilyen kiegészítő tulajdonság van. Érdemes itt csak néhányat idézni közülük.

A ">" sorrendi reláció (az argumentumok ellentétes sorrendjével) szintén tranzitív. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} :a>b,\;b>c\Rightarrow a>c$
Bármely racionális szám és nulla szorzata nulla. $\forall a\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot 0=0$
Az azonos előjelű racionális egyenlőtlenségeket tagonként hozzáadhatjuk. $\forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b,\;c>d\Rightarrow a+c>b+d$
A racionális számok halmaza egy mező (nevezetesen az egész számok gyűrűjének hányadosainak mezője ) a törtek összeadási és szorzási műveleteihez képest. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\left({\mathbb {Q)),+,\cdot \jobbra)$ - terület
A helyzetszámrendszerben egy racionális számot periodikus tört képvisel . Ezenkívül a reprezentáció jelenléte periodikus tört formájában a valós szám racionalitásának kritériuma .
Minden racionális szám algebrai . ${\mathbb {Q}}\subset {\mathbb {A}}$
Bármely két különböző racionális szám között van legalább egy olyan racionális szám , hogy és . (Egy ilyen számra példaként vehetjük a -t.) Nyilvánvaló, hogy és között , valamint és között is létezik legalább egy racionális szám. Ebből az következik, hogy bármely két különböző racionális szám között végtelen sok racionális szám van. Más szóval, nincs két szomszédos racionális szám. Konkrétan nincs a legkisebb pozitív racionális szám. $a$ $b$ $x$ $a<x$ $x<b$ $x=\textstyle {{\frac {a+b}{2}}}$ $a$ $x$ $x$ $b$ $a$ $b$
Nincs legnagyobb vagy legkisebb racionális szám. Bármely racionális számhoz vannak racionális (és akár egész) számok , és olyanok, hogy és . $x$ $a$ $b$ $a<x$ $x<b$

A racionális számok halmazának megszámlálhatósága

A racionális számok számának becsléséhez meg kell találni a halmazuk számosságát . Könnyű bizonyítani, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható . Ehhez elegendő egy olyan algoritmust megadni, amely racionális számokat számlál, azaz bijekciót hoz létre a racionális és a természetes számok halmazai között. A következő egyszerű algoritmus szolgálhat példaként egy ilyen konstrukcióra. A közönséges törtek végtelen táblázatát állítjuk össze, amelynek minden -adik sorában minden -edik oszlopban van egy tört . A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a táblázat sorai és oszlopai egytől kezdve vannak számozva. A táblázat celláit jelöli , ahol annak a táblázatnak a sorszáma, amelyben a cella található, és az oszlop száma. $én$ $j$ ${\frac {i}{j}}$ $\left(i,j\jobb)$ $én$ $j$

A kapott táblázatot egy "kígyó" kezeli a következő formális algoritmus szerint.

Ha az aktuális pozíció olyan, hogy — páratlan , és , akkor a következő pozíció kerül kiválasztásra . $\left(i,j\jobb)$ $én$ $j=1$ $\bal(i+1,j\jobb)$
Ha az aktuális pozíció olyan, hogy , és páros, akkor a következő pozíció kerül kiválasztásra . $\left(i,j\jobb)$ $i=1$ $j$ $\bal(i,j+1\jobb)$
Ha az aktuális pozíció indexeinek összege páratlan, akkor a következő pozíció . $\left(i,j\jobb)$ $\left(i+j\jobb)$ $\bal(i-1,j+1\jobb)$
Ha az aktuális pozíció indexeinek összege páros, akkor a következő pozíció . $\left(i,j\jobb)$ $\left(i+j\jobb)$ $\bal(i+1,j-1\jobb)$

Ezeket a szabályokat felülről lefelé keresi, és a következő pozíciót az első mérkőzés választja ki.

Az ilyen megkerülési folyamat során minden új racionális szám a következő természetes számhoz van rendelve. Vagyis a törtekhez az 1-es szám, a törtekhez a 2-es szám tartozik stb. Csak az irreducibilis törtek vannak számozva. Az irreducibilitás formális jele a tört számlálója és nevezője legnagyobb közös osztójának egyenlősége az egységgel. $1/1$ $2/1$

Ezt az algoritmust követve minden pozitív racionális szám felsorolható. Ez azt jelenti, hogy a pozitív racionális számok halmaza megszámlálható. Könnyű bijekciót létrehozni a pozitív és negatív racionális számok halmazai között, ha minden racionális számhoz hozzárendeljük az ellentétét. Így a negatív racionális számok halmaza is megszámlálható. Egyesülésük a megszámlálható halmazok tulajdonságával is megszámlálható. A racionális számok halmaza egy megszámlálható halmaz és egy véges halmaz uniójaként is megszámlálható. ${\mathbb {Q}}_{+}$ ${\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}_{+}\kupa {\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}={\mathbb {Q}}_{+}\pohár {\mathbb {Q}}_{-}\cup \left\{0\right\}$

A racionális számok felsorolásának más módjai is vannak. Például olyan struktúrák használatával, mint a Culkin-Wilf fa , a Stern-Brokaw fa vagy a Farey sorozat .

A racionális számok halmazának megszámlálhatóságára vonatkozó állítás némi fejtörést okozhat, hiszen első pillantásra úgy tűnik, hogy sokkal nagyobb, mint a természetes számok halmaza (elvégre bármely két természetes szám között van egy végtelen racionális számhalmaz ). Valójában ez nem így van, és van elég természetes szám az összes racionális szám felsorolásához.

A racionális számok elégtelensége

A geometriában az úgynevezett Arkhimédész-axióma következménye (a fentebb említettnél általánosabb értelemben) az a lehetőség, hogy tetszőlegesen kis (vagyis rövid) mennyiségeket állíthatunk elő, amelyeket a racionális számok fejeznek ki . Ez a tény azt a megtévesztő benyomást kelti, hogy a racionális számok általában bármilyen geometriai távolságot képesek mérni . Könnyű kimutatni, hogy ez nem igaz. $1/n$

A Pitagorasz-tételből ismeretes, hogy a derékszögű háromszög befogóját a lábai négyzetösszegének négyzetgyökével fejezzük ki . Hogy. egységszárú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójának hossza egyenlő , azaz olyan számmal, amelynek négyzete 2. ${\sqrt {2}}$

Ha feltételezzük, hogy a számot valamilyen racionális szám képviseli, akkor van egy olyan egész és egy olyan természetes szám , amely , és a tört irreducibilis, vagyis a és számok koprím . ${\sqrt {2}}$ $m$ $n$ ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Ha , akkor ez . Ezért a szám páros, de két páratlan szám szorzata páratlan, ami azt jelenti, hogy maga a szám is páros. Tehát van egy természetes szám , amely így ábrázolható . A szám négyzete ebben az értelemben , de másrészt azt jelenti, hogy vagy . Amint azt a számnál korábban bemutattuk , ez azt jelenti, hogy a szám páros, akárcsak . De akkor nem másodprímek, mivel mindkettő osztható 2 -vel . Az így kapott ellentmondás bizonyítja, hogy ez nem racionális szám. ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ $2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {m}{n}}={\frac {m^{2 }}{n^{2}}}$ $m^{2}=2n^{2}$ $m^{2}$ $m$ $k$ $m$ $m=2k$ $m$ $m^{2}=4k^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ $4k^{2}=2n^{2}$ $n^{2}=2k^{2}$ $m$ $n$ $m$ ${\sqrt {2}}$

A fentiekből következik, hogy a síkon, tehát a számegyenesen vannak olyan szakaszok , amelyek nem mérhetők racionális számokkal. Ez lehetővé teszi a racionális számok fogalmának kiterjesztését valós számokra .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Racionális szám // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
↑ Shikhanovich Yu. A. Bevezetés a modern matematikába (kezdeti fogalmak). - M. : Nauka, 1965. - S. 191. - 376 p.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 2. fejezet Valós számok // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 30-31. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Irodalom

I. Kushnir. Matematika kézikönyv iskolásoknak. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alekszandrov. Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. - M .: fejek. szerk. Fiz.-Matek. megvilágított. szerk. "Tudomány", 1977
I. L. Hmelnyickij. Bevezetés az algebrai rendszerek elméletébe

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2