Egész algebrai szám

Az egész algebrai számokat egész együtthatós és eggyel egyenlő vezető együtthatójú polinomok komplex (és különösen valós ) gyökeinek nevezzük .

A komplex számok összeadása és szorzása tekintetében az algebrai egész számok egy gyűrűt alkotnak . Nyilvánvalóan az algebrai számok mezőjének egy részgyűrűje, és minden közönséges egész számot tartalmaz. $\Omega$ $\Omega$

Legyen valamilyen komplex szám. Tekintsünk egy gyűrűt , amelyet úgy generálunk, hogy közönséges egész számokat adunk a gyűrűhöz . Az összes lehetséges értékből áll , ahol egy polinom egész együtthatókkal. Ekkor teljesül a következő feltétel: egy szám akkor és csak akkor algebrai egész szám, ha végesen generált Abel-csoport . $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$ $u$ $\mathbb {Z}$ $f(u)$ $F z)$ $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$

Példák algebrai egész számokra

Gauss egész számok .
Az egységgyökök a komplex számok mezője feletti polinom gyökei . $x^n-1$

Tulajdonságok

A -ban szereplő összes racionális szám egész szám . Más szavakkal, egyetlen egynél nagyobb nevezővel rendelkező irreducibilis tört sem lehet algebrai egész. $\Omega$ $m/n$
Minden algebrai számhoz létezik egy természetes szám , amely algebrai egész szám. $u$ $n$ $nu$
Egy egész algebrai szám bármely fokának gyöke is egész algebrai szám.

Történelem

Az algebrai egész számok elméletét a 19. században alkották meg Gauss , Jacobi , Dedekind , Kummer és mások. Az iránta való érdeklődés különösen annak a ténynek köszönhető, hogy történetileg ez a struktúra volt az első a matematikában, ahol a prímtényezőkké való kétértelmű faktorizációt fedezték fel. A klasszikus példákat Kummer építette; mondjuk, az algebrai egészek részhalmazában 2 kiterjesztés történik: $a+b{\sqrt {-5}}$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))\cdot (1-{\sqrt {-5)))

sőt mindkét esetben minden faktor egyszerű , vagyis ebben az algyűrűben felbonthatatlan.

Ennek a problémának a tanulmányozása az ideális és az elsődleges ideál fontos fogalmainak felfedezéséhez vezetett, amelyek szerkezetében lehetővé vált az elsődleges tényezőkre való bontás egyértelműen meghatározható.

Irodalom

C. Ireland, M. Rosen. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. S. P. Demushkin fordítása angolból, szerkesztette: A. N. Parshin. M.: Mir, 1987, 6. fejezet.
Borevich Z. I., Shafarevich I. P. Számelmélet. Moszkva: Nauka, 3. kiadás, 1985.- 504 p.
Van der Waerden B. L. Algebra. Moszkva: Mir, 1975, 17. fejezet: Egész számú algebrai elemek.
Gekke E. Előadások az algebrai számok elméletéről, ford. németből., M. - L., 1940.
Gelfond A. O. Transzcendentális és algebrai számok, M., 1952.
Postnikov M. M. Bevezetés az algebrai számok elméletébe

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2