2 négyzetgyöke

Irracionális számok ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π és π
Jelölés	Becsült szám √ 2
Decimális	1,4142135623730950488…
Bináris	1,0110101000001001111…
Hexadecimális	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Hatvanas	egy; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Racionális közelítések	3/2 ; _ _ 7/5 ; _ _ 17/12 ; _ _ 41/29 ; _ _ 99/70 ; _ _ 239/169 ; _ _ 577/408 ; _ _ 1393/985 ; _ _ 3363 / 2378 ; 8119/5741 ; _ _ 19601 / 13860 (a pontosság növelésének sorrendjében)
Folytatólagos tört	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots ))))))))))))$

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 82152128288 9417248

Érték az első ezer tizedesjegyekkel [1] .

{\sqrt {2}}

A 2 négyzetgyöke egy pozitív valós szám , amely önmagával megszorozva 2 -t ad . Kijelölés: ${\sqrt {2}).$

Geometriailag a 2 gyöke egy 1-es oldalú négyzet átlójának hosszaként ábrázolható (ez a Pitagorasz-tételből következik ). Valószínűleg ez volt az első ismert irracionális szám a matematika történetében (vagyis olyan szám, amelyet nem lehet pontosan törtként ábrázolni ).

Egy jó és gyakran használt közelítés a tört . Annak ellenére, hogy a tört számlálója és nevezője csak kétjegyű egész szám, a valós értéktől kevesebb, mint 1/10000-rel tér el. ${\sqrt {2}}$ ${\tfrac {99}{70}}$

Történelem

A babiloni agyagtábla (Kr. e. 1800-1600) adja a legpontosabb közelítést , ha négy hatszázalékos számjeggyel írják, ami kerekítés után 6 pontos tizedesjegy: ${\sqrt {2}}$

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1,41421(296) \,.

Ennek a számnak egy másik korai közelítése egy ősi indiai matematikai szövegben, a Shulba Sutrasban (i.e. 800-200 körül) a következő:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\kb 1,414215686\,.

A püthagoreusok azt találták, hogy egy négyzet átlója összemérhetetlen az oldalával, vagy a mai szóhasználattal, hogy a kettő négyzetgyöke irracionális szám . Keveset tudunk biztosan ennek a kiemelkedő felfedezésnek az idejéről és körülményeiről, de hagyományosan metapontoszi Hippasusnak tulajdonítják , akit a legenda különböző változatai szerint a pitagoreusok vagy megöltek, vagy kiűztek ezért a felfedezésért, őt hibáztatva. a "minden [természetes] szám" fő pitagoraszi tanának megsemmisítéséért. Ezért a 2 négyzetgyökét néha Pitagorasz-állandónak is nevezik, mivel a püthagoreusok bizonyították irracionalitását, és felfedezték az irracionális számok létezését. .

Számítási algoritmusok

Számos algoritmus létezik a kettő négyzetgyökének értékének közelítésére közös vagy tizedes törtekkel . Ennek legnépszerűbb algoritmusa, amelyet számos számítógép és számológép használ, a babiloni módszer a négyzetgyökszámításra ( a Newton-módszer speciális esete ). A következőkből áll:

a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n)))){2}}={\frac {a_{n}}{2}} +{\frac {1}{a_{n}}}.

Minél több ismétlés van az algoritmusban (azaz minél több ), annál jobb a kettő négyzetgyökének közelítése. Minden ismétlés körülbelül megkétszerezi a helyes számjegyek számát. Néhány első közelítés, kezdve : $n$ $a_{0}=1$

${\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\szín {zöld}1{,}41}6\lpont$
${\frac {577}{408}}={\szín {zöld}1{,}41421}5\lpont$
${\frac {665857}{470832}}={\szín {zöld}1{,}41421356237}46\lpont$

1997-ben Yasumasa Canada 137 438 953 444 tizedesjegyre számolta ki az értéket . 2007 februárjában megdőlt a rekord, amikor Shigeru Kondo 200 milliárd tizedesjegyet számolt ki 13 nap és 14 óra alatt 3,6 GHz-es processzor és 16 GB RAM használatával . ${\sqrt {2}}$

Mnemonikus szabály

A kettő gyökének nyolc tizedesjegyű (1,41421356) értékének megjegyezéséhez a következő szöveget használhatja (a betűk száma az egyes szavakban a tizedesjegynek felel meg): „És van egy gyümölcsöm, de sok gyökük van .”

Kettő négyzetgyökének tulajdonságai

A fele körülbelül 0,70710 67811 86548; ez az érték megadja a geometriában és a trigonometriában a koordinátatengelyekkel 45°-os szöget bezáró egységvektor koordinátáit: ${\sqrt {2}}$

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.

Az egyik érdekes tulajdonság a következő: ${\sqrt {2}}$

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. mert

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.

Ez az ezüstszelvény tulajdonság eredménye .

Egy másik érdekes ingatlan : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))=2.

Kettő négyzetgyöke képzeletbeli i egységekben fejezhető ki, csak négyzetgyökök és aritmetikai műveletek segítségével:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

és

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

A 2 négyzetgyöke az 1-en kívül az egyetlen szám, amelynek végtelen tetraciója egyenlő a négyzetével.

{\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^({\ \cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))) ) }=2

Kettő négyzetgyöke is használható közelítésre : $\pi$

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2)))))))))\to \pi \quad

nál nél

m\to \infty .

A magasabb algebra szempontjából a polinom gyöke , ezért algebrai egész szám [2] . A racionális számokat tartalmazó alak számhalmaza egy algebrai mezőt alkot . Jelölve van, és a valós számok mezőjének részmezeje . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$

Az irracionalitás bizonyítéka

Bizonyítás faktorizáción keresztül

Alkalmazzuk az ellentmondásos bizonyítást : tegyük fel , hogy racionális , azaz törtként van ábrázolva , ahol egy egész szám , és egy természetes szám . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

Mivel a prímtényezők páros hatványt és páratlan hatványt tartalmaznak, az egyenlőség lehetetlen. Ezért az eredeti feltevés téves volt, és irracionális szám. $m^{2}$ $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Folytatódik tört

A kettő négyzetgyöke folyamatos törtként ábrázolható :

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+ \ddots }}}}}}}}.

Egy adott folytonos tört konvergensei közelítő értékeket adnak, amelyek gyorsan konvergálnak kettő pontos négyzetgyökéhez. Kiszámításuk egyszerű: ha az előző megfelelő törtet jelöljük , akkor a következő alakja . A konvergencia ráta itt kisebb, mint a babiloni módszernél, de a számítások sokkal egyszerűbbek. Írjunk le néhány első közelítést: ${\frac {m}{n}}$ ${\frac {m+2n}{m+n}}$

{\frac {3}{2));\ {\frac {7}{5));\ {\frac {17}{12));\ {\frac {41}{29));\ {\ frac {99}{70));\ {\frac {239}{169));\ {\frac {577}{408));\ {\frac {1393}{985));\ {\frac { 3363}{2378}}\pontok

Az utolsó redukált tört négyzete (lekerekítve) 2,000000177.

Papírméret

A kettő négyzetgyöke az ISO 216 sorozatú A és B, valamint az ISO 217 sorozatú C papírok képarányában A képarány . Ha egy lapot kettévágunk a rövid oldalával párhuzamosan, akkor két azonos arányú lapot kapunk. Ez lehetővé teszi a papírméretek számozását egy számmal a lapterület (vágások száma) szerinti csökkenő sorrendben: A0, A1, A2, A3, A4 , ... és B0, B1, B2, B3 ... $1:{\sqrt {2}}$

Hasonló módon (a lapot kettéosztva) a kettő (7/5) gyökeréhez való racionális közelítést alkalmazzák a fotópapír-formátumoknál: 2R (2,5 × 3,5 hüvelyk), 3R (3,5 × 5 hüvelyk), 5R (5 × 7 hüvelyk).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kettő négyzetgyöke, 5 millió számjegyig
↑ Nem tévesztendő össze az egész számmal .

Irodalom

Claudy Alsina. A számok szektája. Pitagorasz tétel. - M. : De Agostini, 2014. - 152 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 5. kötet). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .

Linkek

Pythagoras's Constant archiválva 2018. december 20-án a Wayback Machine -nál .

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus