Pi (szám)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Irracionális számok ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π és π
Jelölés	Számpontszám $\pi$
Decimális	3,14159265358979323846264333832795…
Bináris	11.00100100001111110110…
Hexadecimális	3.243F6A8885A308D31319…
Hatvanas	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Racionális közelítések	22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (a pontosság növelésének sorrendjében)
Folytatólagos tört	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …] (Ez a folyamatos tört nem periodikus . Lineáris jelöléssel írva)
Trigonometria	$\pi$ radián = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909
2189420

Szám a tizedesjegy első ezer magasabb számjegyével [1]

\pi

${\bold symbol {\pi ))$ (ejtsd: „ pi ”) egy matematikai állandó , amely egyenlő a kör kerületének és átmérőjének arányával [K 1] . A görög ábécé " π " betűje jelöli . 2022 júniusától a pi első 100 billió tizedesjegye ismert [2] .

Tulajdonságok

Transzcendencia és irracionalitás

A szám irracionális , azaz értéke nem fejezhető ki pontosan törtként , ahol egy egész és egy természetes szám. Ezért a decimális ábrázolása soha nem ér véget, és nem periodikus . Egy szám irracionalitását először Johann Lambert bizonyította 1761-ben [3] azzal, hogy az érintőt folyamatos törtté bővítette . Legendre 1794-ben szigorúbb bizonyítékot adott a számok és a számok irracionalitására . Számos bizonyítást részletez a Bizonyítások arra vonatkozóan, hogy π irracionális cikk . $\pi$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$

$\pi$ - transzcendentális szám , azaz nem lehet egyetlen egész együtthatós polinom gyöke sem. Egy szám transzcendenciáját Lindemann , a königsbergi , majd a müncheni egyetem professzora bizonyította 1882 -ben . A bizonyítást Felix Klein 1894- ben egyszerűsítette [4] . Mivel az euklideszi geometriában a kör területe és a kerülete egy szám függvénye , a transzcendencia bizonyítása véget vetett a kör négyzetre emelésére tett kísérleteknek , amelyek több mint 2,5 ezer évig tartottak. $\pi$ $\pi$ $\pi$

1934-ben Gelfond bebizonyította [5] , hogy a szám transzcendens . 1996-ban Jurij Neszterenko bebizonyította, hogy bármely természetes számra és algebrailag függetlenek , ahonnan különösen az következik [6] [7] , hogy a és számok transzcendensek . $e^{\pi }$ $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$ $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$

$\pi$ a periódusgyűrű eleme (és ennélfogva kiszámítható és aritmetikai szám ). De nem ismert, hogy a periódusok körébe tartozik-e. $1/\pi$

Arányok

Számos képlet létezik a szám kiszámítására : $\pi$

Vieta képlete a π szám közelítésére :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \ldots

Ez az első ismert explicit reprezentáció végtelen számú művelettel. A következőképpen bizonyítható. Az identitást rekurzívan alkalmazva és a határig átlépve azt kapjuk

\pi

\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi

\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .

Marad a kettős szögű koszinusz képlet helyettesítése és használata :

\varphi ={\frac {\pi }{2))

\cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .

Wallis formula :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Leibniz sorozat :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1} {9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Dupla faktoriálist használó sorozat:

2+{1 \over 3}\left(2+{2 \over 5}\left(2+{3 \over 7}\left(2+{4 \over 9}(\dots )\right )\right)\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!))=\pi

1+{2 \over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4 \over 4}\left(1+{2 \over 5}\left(1+{) 6 \over 6}(\ dots )\right)\right)\right)\right)=\pi

A képletet Srinivasa Ramanujan találta :

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\ pi}}$

Egyéb sorok:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

( fordított négyzetes sorozat )

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,( 2k+1)}}

\pi =\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){4^{k))}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\jobbra)

A következő sorok lehetővé teszik az előjelek kiszámítását a pi hexadecimális jelölésében az előző előjelek kiszámítása nélkül:

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}} \left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k +7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\ balra({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+ 5 }}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\end{aligned}}

Több sor:

\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k} }}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}} {(m^{2}+k^{2})^{2))}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty } \sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3))))}

Korlátok :

\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m)){\left[(2m)!\right]^{ 2}\,m}}

\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to

itt vannak prímszámok

{\displaystyle p_{k))

\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\pontok +{\ sqrt {2}}}}}}}}}},

ahol egyenlő a [8] kifejezés gyökeinek számával .

n

Euler személyazonossága :

e^{i\pi }+1=0\;

Egyéb kapcsolatok az állandók között :

{\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{ 2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\jobb)^{2k}

\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\jobb)^{2k+1}\left ({\frac {k}{k+1}}\jobbra)^{2k}

A képletet Srinivasa Ramanujan találta :

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9))+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{ 1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }} ))))))))))))={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2))))

T. n. Poisson- integrál vagy Gauss- integrál :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)))}dx={\sqrt {\pi }},

hol van a Bring gyökér .

B(x)

Integrált szinusz :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi

Kifejezés dilogaritmussal [9] :

\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operátornév {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)))

A nem megfelelő integrálon keresztül :

\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x))))=\pi

;

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)))=\pi

Sztori

William Jones brit matematikus először 1706-ban [10] használta ezt a számot görög betűvel , és Leonard Euler 1737- es munkája után vált általánosan elfogadottá . Ez a megnevezés a görög περιφέρεια - kör, periféria és περίμετρος - kerület [11] - szavak kezdőbetűjéből származik . $\pi$

A számok tanulmányozása és jelentésének finomítása párhuzamosan ment minden matematika fejlődésével, és több évezredet vesz igénybe. Először a geometria szemszögéből vizsgálták , majd a 17. századi matematikai elemzés fejlődése mutatta meg ennek a számnak az egyetemességét. $\pi$ $\pi$

geometriai időszak

Azt a tényt, hogy a kerület és az átmérő aránya minden körnél azonos, és ez az arány valamivel több mint 3, az ókori egyiptomi , babiloni , ó- indiai és ókori görög geométerek ismerték, a legrégebbi közelítések visszanyúlnak. a Krisztus előtti harmadik évezredig. e.

Az ókori Babilonban hárommal egyenlőnek vették , ami a kerületet a beleírt hatszög kerületével helyettesítette . A kör területét [12] úgy határozták meg , mint a kerület négyzetét osztva 12-vel, ami szintén megfelel a feltételezésnek . A legkorábbi ismert pontosabb közelítések Kr.e. 1900 körüliek. e.: ez 25/8 = 3,125 ( az óbabiloni királyság időszakának szuszai agyagtáblája ) [13] és 256/81 ≈ 3,16 (Ahmes egyiptomi papirusz a Középbirodalom időszakából ); mindkét érték legfeljebb 1%-kal tér el a valódi értéktől. A „ Shatapatha Brahmana ” védikus szöveg közelítésként a 339/108 ≈ 3,139 törtet adja meg . $\pi$ $\pi =3.$ $\pi$

Zhang Heng kínai filozófus és tudós a 2. században két megfelelőt javasolt a számnak: 92/29 ≈ 3,1724 és ≈ 3,1622. A dzsainizmus szent könyveiben , amelyeket az ie 5-6. században írtak. például azt találták, hogy akkor Indiában egyenlőnek vették [14] $\pi$ ${\sqrt {10}}$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$

Arkhimédész lehetett az első, aki matematikai számítási módot javasolt . Ehhez körbe írt, és szabályos sokszögeket írt le körülötte . A kör átmérőjét egységnek véve Arkhimédész a kör kerületének alsó korlátjának a beírt sokszög kerületét, felső korlátjának pedig a körülírt sokszög kerületét tekintette. A szabályos 96-gonosságú Arkhimédész becslést kapott, és hozzávetőleges számításra javasolta az általa talált határok felső értékét: - 22/7 ≈ 3,142857142857143. $\pi$ $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ $\pi$

A következő közelítés az európai kultúrában Claudius Ptolemaiosz (kb. 100 - 170 körül) csillagászhoz köthető, aki fél fokos lépésekben készített egy akkordtáblázatot, amely lehetővé tette számára, hogy 377 / 120 közelítést kapjon , ami megközelítőleg megegyezik az egységkörbe írt 720-as szög kerületének felével [15] . Pisai Leonardo ( Fibonacci ) a " Practica Geometriae " (1220 körül) című könyvében, nyilvánvalóan Ptolemaiosz közelítését véve alsó határnak , megadja a közelítését [16 ] - 864/275 . De ez rosszabbnak bizonyult, mint Ptolemaiosé, mivel az utóbbi fél fokkal felfelé hibázott a húr hosszának meghatározásakor, aminek következtében a 377/120-as közelítés a felső korlátnak bizonyult . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Indiában, Aryabhata és Bhaskara esetében a 3,1416 közelítést használtam. Varahamihira a 6. században a Pancha Siddhantika közelítését használja . ${\sqrt {10}}$

Kr.u. 265 körül. e. A Wei matematikus , Liu Hui egy egyszerű és precíz iteratív algoritmust készített bármilyen pontosságú számításhoz . Önállóan elvégezte a 3072-gon számítását, és hozzávetőleges értéket kapott a következő elv szerint: $\pi$ $\pi$

\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+ {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1)))))))))))))))))))))))))}\kb. 3.14159.

Később Liu Hui kitalált egy gyors számítási módszert , és mindössze 96 szöggel 3,1416-os hozzávetőleges értéket adott ki, kihasználva azt a tényt, hogy az egymást követő sokszögek területének különbsége geometriai progressziót alkot, melynek nevezője: 4. $\pi$

A 480-as években a kínai matematikus, Zu Chongzhi kimutatta, hogy ≈ 355/113 , és kimutatta, hogy 3,1415926 < < 3,1415927 Liu Hui algoritmusával, amelyet egy 12288-as szögre alkalmaztak. Ez az érték maradt a szám legpontosabb közelítése a következő 900 évben. $\pi$ $\pi$ $\pi$

klasszikus korszak

A 2. évezredig legfeljebb 10 számjegyet ismertek . A tanulmány további jelentős vívmányai a matematikai elemzés fejlődéséhez kapcsolódnak , különösen a sorozatok felfedezéséhez , amelyek lehetővé teszik a tetszőleges pontosságú számítást, a sorozat megfelelő számú kifejezésének összegzésével. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Madhava sor - Leibniz

Az 1400-as években a Sangamagrama Madhava megtalálta a következő sorok közül az elsőt:

{\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\ cdots

Ezt az eredményt Madhava-Leibniz sorozatként vagy Gregory-Leibniz sorozatként ismerik (miután James Gregory és Gottfried Leibniz újra felfedezte a 17. században). Ez a sorozat azonban nagyon lassan konvergál , ami a gyakorlatban megnehezíti a szám sok számjegyének kiszámítását - körülbelül 4000 tagot kell hozzáadni a sorozathoz, hogy javítsa Arkhimédész becslését. Ennek a sorozatnak a konvertálásával azonban $\pi$

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{ \frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)

Madhava 3,14159265359-et tudott kiszámolni úgy, hogy helyesen azonosította a 11 számjegyet a számbevitelben. Ezt a rekordot 1424-ben Dzsamsid al-Kashi perzsa matematikus döntötte meg , aki "Treatise on the Circle" című munkájában 17 számjegyet adott meg a számból , amelyből 16 helyes. $\pi$ $\pi$

Ludolf szám

Arkhimédész óta az első jelentős európai hozzájárulás Ludolf van Zeulen holland matematikusé volt , aki tíz évet töltött egy 20 tizedesjegyű szám kiszámításával (ezt az eredményt 1596-ban tették közzé). Arkhimédész módszerét alkalmazva az n - gonhoz hozta a duplázódást, ahol n = 60 2 29 . Ludolf, miután felvázolta eredményeit a „Körüljáróról” („Van den Circkel”) című esszében, a következő szavakkal zárta: „Akinek van vágya, menjen tovább.” Halála után a szám további 15 pontos számjegyét találták kézirataiban . Ludolph örökségül hagyta, hogy a talált jeleket a sírkövére vésték. Tiszteletére a számot néha "Ludolf-számnak" vagy "Ludolf-állandónak" nevezték. $\pi$ $\pi$ $\pi$

A Ludolf-szám egy hozzávetőleges érték egy 35 érvényes tizedesjegyű számhoz [17] . $\pi$

Vieta képlete a π közelítésére

Ez idő tájt kezdtek kialakulni Európában a végtelen sorozatok elemzésének és meghatározásának módszerei. Az első ilyen ábrázolás Vieta képlete volt a π szám közelítésére :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \cdots

François Viet találta 1593-ban.

Wallis formula

Egy másik híres eredmény a Wallis-képlet volt :

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\ frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac { 8}{9}}\cdots

John Wallis tenyésztette 1655-ben.

Hasonló munkák:

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\jobbra)^{2}}}$

$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left ({\frac {1}{6}}\jobbra)^{2}}}$

$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}} {k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4} }}}$

$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9))))$

$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16))))$

$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+ k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36))))$

Az e számmal való kapcsolatot bizonyító termék

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1 }{2}}}\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1 }}\jobbra)^{2k}$

Identitáson alapuló módszerek

A modern időkben az identitáson alapuló analitikai módszereket használják a számításokhoz . A fent felsorolt képletek kevéssé használhatók számítási célokra, mivel vagy lassan konvergáló sorozatokat használnak, vagy összetett négyzetgyök-kivonási műveletet igényelnek. $\pi$

Gépi képletek

A számok (valamint a természetes logaritmusok és egyéb függvények) megtalálásának első hatékony és modern módját az általa kidolgozott sorozatelmélet és matematikai elemzés alapján Isaac Newton adta meg 1676 -ban Oldenburghoz írt második levelében [18]. , sorozatban bővül . E módszer alapján a leghatékonyabb formulát 1706-ban John Machin találta meg $\pi$ $\mathrm {arctg} {\frac {1}{2))$

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Az arctangens kiterjesztése Taylor sorozattá

\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}} {7}}+\cdots

gyorsan konvergens sorozatot kaphat, amely alkalmas egy szám nagy pontosságú kiszámítására. $\pi$

Az ilyen típusú képleteket, amelyeket ma Machin képletként ismernek, több egymást követő rekord felállítására használták, és továbbra is a számítógépek által végzett gyors számítások legismertebb módszerei maradtak . Kiemelkedő rekordot állított fel a fenomenális számláló , Johann Daze , aki 1844-ben Gauss parancsára Machin képletét alkalmazta 200 számjegy kiszámítására . A 19. század végére a legjobb eredményt az angol William Shanks érte el , akinek 15 évbe telt a 707 számjegy kiszámítása. Az 528. számjegyben azonban hibázott, aminek következtében az összes következő számjegy hibásnak bizonyult [19] . Az ilyen hibák elkerülése érdekében az ilyen típusú modern számításokat kétszer hajtják végre. Ha az eredmények megegyeznek, akkor valószínűleg helyesek. Shanks hibáját az egyik első számítógép fedezte fel 1948-ban; néhány óra alatt 808 karaktert is megszámolt . $\pi$ $\pi$ $\pi$

A pi egy transzcendentális szám

A 18. század elméleti fejlődése olyan betekintést eredményezett a számok természetébe, amelyet pusztán numerikus számítással nem lehetett elérni. Johann Lambert 1761-ben, Adrien Legendre pedig 1774-ben bizonyította az irracionalitást . 1735-ben kapcsolat jött létre a prímszámok között, és amikor Leonhard Euler megoldotta a híres bázeli problémát - a pontos érték megtalálásának problémáját. $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1 }{4^{2}}}+\cdots

amely egyenlőnek bizonyult . Legendre és Euler is felvetette, hogy transzcendentális lehet , amit végül 1882-ben Ferdinand von Lindemann bebizonyított . ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\pi$

1945 -ben Cartwright leegyszerűsítette Charles Hermite elemi bizonyítékát, hogy egy szám irracionális . $\pi$

" " szimbólum

\pi

William Jones Palmoriorum Mathesios (1706) szinopszisa az első, amely bevezette a görög betű használatát erre az állandóra, de ez a jelölés általánosan elfogadottá vált, miután Leonhard Euler 1737-ben elfogadta (vagy önállóan jutott hozzá) [11] ] . Euler ezt írta: „ Sok más módszer is létezik a megfelelő görbe vagy sík alakzat hosszának vagy területének meghatározására, ami nagyban megkönnyítheti a gyakorlást; például egy körben az átmérő a kerülethez viszonyítva 1-től ". $\pi$ $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{ 5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\jobbra)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$

A számítástechnika korszaka

A 20. századi digitális technológia korszaka a számítástechnikai rekordok megjelenési sebességének növekedéséhez vezetett. John von Neumann és mások az ENIAC -ot használták 1949-ben 2037 számjegy kiszámításához , ami 70 órát vett igénybe. 1961-ben Daniel Shanks 100 000 karaktert számolt ki egy IBM 7090 -en , és 1973-ban átlépték a milliós határt [K 2] . Ez a fejlődés nemcsak a gyorsabb hardvernek, hanem az új algoritmusoknak is köszönhető. $\pi$

Leutzen Brouwer holland matematikus a 20. század első felében értelmetlen feladatként említette a sorozat decimális kiterjesztésében való keresést - véleménye szerint az ehhez szükséges pontosság soha nem fog megvalósulni. A 20. század végén fedezték fel ezt a sorozatot, amely 17 387 594 880 tizedesjegynél kezdődik [20] . $\pi$ $0123456789$

A 20. század elején Srinivasa Ramanujan indiai matematikus számos új képletet fedezett fel , amelyek közül néhány eleganciájukról és matematikai mélységükről vált híressé. Az egyik képlet egy sorozat: $\pi$

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

A Chudnovsky testvérek 1987-ben hasonlót találtak hozzá:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)! (13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

amely megközelítőleg 14 számjegyet ad a sorozat minden tagjára. Csudnovszkijék ezt a képletet használták számos számítási rekord felállítására az 1980-as évek végén, köztük egy olyan rekordot is, amely 1989-ben 1 011 196 691 tizedesjegyet eredményezett. $\pi$

Ezt a képletet olyan programokban használják, amelyek személyi számítógépeken számolnak, szemben a szuperszámítógépekkel , amelyek modern rekordokat döntenek el. $\pi$

Míg a sorozat általában minden egymást követő taggal fix mértékben javítja a pontosságot, vannak iteratív algoritmusok, amelyek minden lépésben "megszorozzák" a helyes számjegyek számát, de ezeknél a lépéseknél magas számítási költségekre van szükség.

E tekintetben 1975-ben történt áttörés, amikor Richard Brent és Eugene Salamis egymástól függetlenül felfedezték a Brent-Salamin algoritmust , amely csak aritmetikával megduplázza az ismert karakterek számát minden lépésben [21] . Az algoritmus a kezdeti értékek beállításából áll

a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2))}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4 }}\quad \quad \quad p_{0}=1

és iterációk:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n} }}

t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}

amíg a n és b n elég közel nem lesz. Ekkor a becslést a képlet adja meg $\pi$

\pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

Ezzel a sémával 25 iteráció elegendő 45 millió tizedesjegy eléréséhez. Hasonló algoritmust, amely minden lépésnél megnégyszerezi a pontosságot, talált Jonathan Borwain Peter Borwain [22] . Ezekkel a módszerekkel Yasumasa Canada és csoportja 1980-tól kezdve felállította a legtöbb számítástechnikai rekordot 1999-ben 206 158 430 000 karakterig. 2002-ben Kanada és csoportja új rekordot döntött, 1 241 100 000 000 tizedesjegyet. Míg Kanada legtöbb korábbi rekordja a Brent-Salamin algoritmussal született, a 2002-es számítás két Machin-típusú képletet használt, amelyek lassabbak voltak, de drasztikusan csökkentették a memóriahasználatot. A számítást egy 64 csomópontos Hitachi szuperszámítógépen végezték el , 1 terabájt RAM-mal, amely másodpercenként 2 billió műveletet képes végrehajtani. $\pi$

A közelmúlt egyik fontos fejleménye a Bailey-Borwain-Pluff képlet , amelyet 1997-ben Simon Pluff fedezett fel, és az első publikációban megjelent cikk szerzőiről nevezték el [23] . Ez a képlet

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k))}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\jobb),

Figyelemre méltó, hogy lehetővé teszi egy szám bármely hexadecimális vagy bináris számjegyének kinyerését az előzőek kiszámítása nélkül [23] . 1998 és 2000 között a PiHex elosztott számítástechnikai projekt egy módosított Bellard képletet használt a szám kvadrilliomodik bitjének kiszámításához , amely nullának bizonyult [24] . $\pi$ $\pi$

2006-ban Simon Pluff a PSLQ algoritmust használva számos gyönyörű képletet talált [25] . Legyen q = e π , akkor

{\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n} -1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\jobbra)

{\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac { 4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\jobbra)

és más típusok

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k))}\left({\frac {a}{q^{n}- 1))+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\jobbra)

ahol q \ u003d e π , k páratlan szám , és a , b , c racionális számok . Ha k 4 m + 3 alakú, akkor ennek a képletnek különösen egyszerű alakja van:

p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}} {q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1 }}\jobb)

racionális p -re, amelynek nevezője egy jól faktorizálható szám, bár szigorú bizonyítást még nem adtak meg.

2009 augusztusában a japán Tsukuba Egyetem tudósai egy 2 576 980 377 524 tizedesjegyből álló sorozatot számítottak ki [26] .

2011. október 19-én Alexander Yi és Shigeru Kondo 10 billió tizedesjegy pontossággal kiszámította a sorozatot [27] [28] . 2013. december 28-án a tizedesvessző után 12,1 billió számjegy pontossággal is kiszámolták a sorozatot [29] .

2019. március 14-én, amikor a pi szám nem hivatalos ünnepét ünnepelték, a Google bevezette ezt a számot 31,4 billió tizedesjegygel. Emma Haruka-Iwaonak, a Google egyik japán alkalmazottjának sikerült ilyen pontossággal kiszámítania [30] .

2021 augusztusában a Graubündeni Alkalmazott Tudományok Egyetem svájci tudósai 62,8 billió tizedesjegy pontossággal tudtak kiszámítani egy számot , frissítve a korábbi rekordokat. A számításokat szuperszámítógépen végezték 108 napon és kilenc órán keresztül. A számítási sebesség kétszerese volt a Google által 2019-ben felállított rekordnak, és 3,5-szerese a 2020-ban felállított rekordnak, amikor több mint 50 billió tizedesjegyet számoltak ki egy számban [31] [32] . $\pi$ $\pi$

2022. június 9-én a Google Emma Haruka-Iwao vezette csapata majdnem 158 nap alatt kiszámította a pi első 100 billió tizedesjegyét [2] [33] .

A " Super Pi " program, amely rögzíti a Pi adott számú (legfeljebb 32 millió) számjegyének kiszámításához szükséges időt, használható a számítógépek teljesítményének tesztelésére .

Racionális közelítések

${\frac {22}{7))$ - Archimedes (Kr. e. III. század) - ókori görög matematikus, fizikus és mérnök;
${\frac {377}{120}}$ - Claudius Ptolemaiosz (i.sz. 2. század) - ókori görög csillagász és földrajztudós, valamint Ariabhata (i.sz. 5. század) - indiai csillagász és matematikus;
${\frac {355}{113}}$ - Zu Chongzhi (i.sz. V. század) - kínai csillagász és matematikus.

A közelítés pontosságának összehasonlítása

Szám	Lekerekített érték	Pontosság ( a számjegyek egybeesése )
$\pi$	3,14159265…
${\frac {22}{7))$	3,14 285714…	2 tizedesjegy
${\frac {377}{120}}$	3,141 66667…	3 tizedesjegy
${\frac {355}{113}}$	3,141592 92…	6 tizedesjegy

Nyitott kérdések

Az irracionalitás pontos mértéke a számokra és nem ismert (de ismert, hogy nem haladja meg a 7,103205334137-et) [34] [35] . $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$
Az irracionalitás mértéke a következő számok egyikére sem ismert: Egyiküknél sem ismert, hogy racionális számról, algebrai irracionális számról vagy transzcendentális számról van-e szó. Ezért nem ismert, hogy a és számok algebrailag függetlenek -e [6] [36] [37] [38] [39] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2)),\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2)).$ $\pi$ $e$
Nem ismert, hogy ez egy egész szám bármely pozitív egész szám mellett (lásd a tetraciót ). ${^{n}\pi }$ $n$
Egyelőre semmit sem tudni a szám normalitásáról ; azt sem tudni, hogy a 0-9 számjegyek közül melyik fordul elő a szám decimális ábrázolásában végtelen sokszor. Egy 200 milliárd tizedesjegy pontosságú számítógépes ellenőrzése kimutatta, hogy ebben a rekordban mind a 10 számjegy majdnem egyforma gyakorisággal fordul elő [40] : $\pi$ $\pi$ $\pi$

Szám	Hányszor jelenik meg
0	20 000 030 841
egy	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
négy	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
nyolc	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Szigorú bizonyíték azonban nincs.

Nem ismert, hogy a periódusgyűrűhöz tartozik-e . ${\frac {1}{\pi ))$

Buffon tűs módszer

Egyenlő távolságú vonalakkal bélelt síkon véletlenszerűen dobnak egy tűt, amelynek hossza megegyezik a szomszédos vonalak távolságával, így minden dobásnál a tű vagy nem keresztezi a vonalakat, vagy pontosan egyet. Bizonyítható, hogy a tű valamilyen vonallal való metszéspontjai számának az összes dobásszámhoz viszonyított aránya a dobások számának a végtelenbe történő növekedésével hajlik [41] . Ez a tűmódszer valószínűségszámításon alapul, és a Monte Carlo-módszer alapját képezi [42] . ${\frac {2}{\pi }}$

Mnemonikai szabályok és memorizálási rekordok

Versek a π szám 8-11 számjegyének memorizálására:

Annak érdekében, hogy ne tévedjünk,
helyesen kell olvasnunk:
Három, tizennégy, tizenöt,
kilencvenkettő és hat.

Csak meg kell próbálnia,
És emlékezzen mindenre úgy, ahogy van:
három, tizennégy, tizenöt,
kilencvenkettő és hat.

Három, tizennégy, tizenöt,
kilenc, kettő, hat, öt, három, öt.
A tudományban való részvételhez
ezt mindenkinek tudnia kell.

Megpróbálhatja
gyakrabban ismételni:
"Három, tizennégy, tizenöt,
kilenc, huszonhat és öt."

A memorizálást segítheti a költői méret megfigyelése:

Három, tizennégy, tizenöt, kilenc kettő, hat öt, három öt
nyolc kilenc, hét és kilenc, három kettő, három nyolc, negyvenhat
kettő hat négy, három három nyolc, három kettő hét kilenc, öt nulla kettő
nyolc nyolc és négy, tizenkilenc hét egy

Vannak olyan versek, amelyekben a π szám első számjegyei a szavak betűinek számaként vannak titkosítva:

Ezt tudom és tökéletesen emlékszem: És
sok jel fölösleges számomra, hiába.
Bízzunk a hatalmas tudásban
Akik számoltak, az armada számaiban.

Tanulj és ismerd meg az ismert számban A szám
mögött ott van a szám, hogyan lehet észrevenni a szerencsét.

Kolja és Arina óta
széttéptük a tollágyakat.
Fehér pihék röpködtek, köröztek,
Bátorkodott, megdermedt,
Elégedetten,
De ő adta nekünk
A vénasszonyok fejfájását.
Hú, veszélyes piheszellem!

— Georgij Alekszandrov

Hasonló versek léteztek a reform előtti helyesírásban is . Például a következő vers, amelyet a Nyizsnyij Novgorodi Szenrok gimnázium tanára komponált [43] :

Aki tréfásan és hamarosan meg akarja
ismerni Pi-t, az már tudja a számot.

A tizedesjegyek memorizálásának világrekordja Rajveer Meena 21 éves indiai diáké, aki 2015 márciusában 70 000 tizedesjegyet reprodukált 9 óra 27 perc alatt [44] . Ezt megelőzően közel 10 évig a kínai Liu Chao tartotta a rekordot, aki 2006-ban 67 890 tizedesjegyet reprodukált hiba nélkül 24 óra 4 percen belül [45] [46] . Ugyanebben 2006-ban a japán Akira Haraguchi kijelentette, hogy a 100 000. tizedesjegyig emlékszik a számra [47] , de hivatalosan nem igazolták [48] . $\pi$ $\pi$

Oroszországban a memorizálási rekordot 2019-ben Denis Babushkin állította fel (13 202 karakter) [49] .

A kultúrában

Indiana államban ( USA) 1897- ben elfogadták a Pi törvényjavaslatot , amelynek értéke 3,2 [50] . Ez a törvényjavaslat a Purdue Egyetem egyik professzorának időben történő beavatkozása miatt nem vált törvénybe , aki jelen volt az állam törvényhozásában a törvény megvitatása során;
Van egy játékfilm, amit Piről neveztek el;
A " Pi Day " nem hivatalos ünnepét minden évben március 14-én ünneplik , ami az amerikai dátumformátumban (hónap/nap) 3,14-nek van írva, ami megfelel a szám hozzávetőleges értékének . Úgy tartják [51] , hogy az ünnepet 1987 -ben Larry Shaw San Francisco -i fizikus találta ki , aki felhívta a figyelmet arra, hogy március 14-én pontosan 01:59-kor a dátum és az idő egybeesik a Pi = 3,14159 első számjegyeivel; $\pi$
- A számhoz kapcsolódó másik dátum a július
22. , amelyet " Pi-közelítő napnak " hívnak , mivel az európai dátumformátumban ezt a napot 22/7-nek írják, és ennek a törtnek az értéke egy racionális közelítő érték . $\pi$ $\pi$

Az amerikai progresszív metal banda , az After The Burial rögzítette a Pi - The Mercury God of Infinity című dalt, amelyben a ritmusgitár és a basszusdob szólamok a szám tizedes történek legmagasabb számjegyei alapján készültek .

\pi

François Arago a "Közérthető csillagászatban" [52] írta :

Nézzük meg, milyen pontossággal lehetséges a Pi (Pi-számok) számok segítségével kiszámítani azt a kerületet, amelynek sugara megegyezik a Föld Naptól mért átlagos távolságával (150 000 000 km). Ha 18 számjegyet veszünk Pi-hez, akkor az utolsó számjegy egy egységnyi hibája 0,0003 milliméteres hibával jár a számított kör hosszában; sokkal kisebb, mint a haj vastagsága.

18 számjegyű Pi-t vettünk. Könnyű elképzelni, mekkora elképzelhetetlenül kicsi hiba történt volna a számított kör hatalmasságához képest, ha az összes ismert számot felhasználjuk Pi-re. Az elmondottakból kitűnik, mekkorát tévednek azok, akik azt gondolják, hogy a tudományok megváltoztatnák formáját, és alkalmazásaiknak nagy haszna lenne, ha pontos Pi-t találnának, ha létezne.

Tehát még a csillagászathoz sem – a legpontosabb számításokhoz folyamodó tudományhoz – nincs szükség teljesen pontos megoldásra...

Lásd még

Megjegyzések

Hozzászólások

↑ Ez a meghatározás csak az euklideszi geometriára érvényes . Más geometriákban a kör kerületének és átmérőjének hosszának aránya tetszőleges lehet. Például a Lobacsevszkij-geometriában ez az arány kisebb, mint . $\pi$
↑ Manapság számítógép segítségével billió számjegyek pontossággal számítják ki a számot, ami inkább technikai, mint tudományos érdek, mert az ilyen pontosságnak nincs gyakorlati haszna. A számítás pontosságát általában a számítógép rendelkezésre álló erőforrásai korlátozzák, legtöbbször az idő, valamivel ritkábban a memória mennyisége. $\pi$

Források

↑ P.I. _ Letöltve: 2010. szeptember 13. Az eredetiből archiválva : 2010. szeptember 3.. (határozatlan)
↑ 1 2 Pavel Kotov. A Google Cloud egyik alkalmazottja 100 billió tizedesjegyig számolta ki a pi számát – ez új rekord . 3DNews Daily Digital Digest (2022.09.06.). Letöltve: 2022. június 10. Az eredetiből archiválva : 2022. június 10. (határozatlan)
↑ Lambert, Johann Heinrich . Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logaritmiques, 265–322.
↑ Klein bizonyítása az 1908-ban Göttingenben megjelent "Az elemi és felsőbb matematika kérdései" című művének 1. részéhez fűződik.
↑ Weisstein, Eric W. Gelfond állandója a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Irrational Number (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Moduláris függvények és a transzcendencia kérdései
↑ Romer P. A π új kifejezése // V.O.F.E.M. . - 1890. - 97. sz . - S. 2-4 . (Orosz)
↑ Weisstein, Eric W. Pi a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Gnezdovsky Yu. Yu . Bevezetés // A trigonometria kézikönyve. - Ökoperspektíva, 2006. - P. 3. - ISBN 985-469-141-1 .
↑ 1 2 A mindenütt jelenlévő "pi" szám, 2007 , p. 10-11.
↑ Kympan, 1971 .
↑ E. M. Bruins . Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse Archivált : 2016. március 3., a Wayback Machine , 1950.
↑ Stroik D. Ya. Rövid esszé a matematika történetéről = Abriss der Geschichte der Mathematik / Per. ezzel.; Ch. szerk. Fiz.-Matek. irodalom. - 4. kiadás, Rev. - M . : Tudomány , 1984. - S. 47-48. — 285 p. — ISBN 5-02-014329-4 . (Orosz)
↑ A mindenütt jelenlévő "pi" szám, 2007 , p. 29.
↑ Kympan, 1971 , p. 81.
↑ Pi: Forráskönyv . Letöltve: 2021. november 19. Az eredetiből archiválva : 2021. november 19. (határozatlan)
↑ Isaac Newton. Matematikai munkák (fordította és lektorálta: Morduchai-Boltovsky) / Morduchai-Boltovsky (fordítás és kommentár is). - Moszkva, Leningrád: A műszaki és elméleti irodalom fő kiadója, 1937.
↑ Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — P. 194–196. – 270 p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .
↑ Joaquin Navarro, 2014 , p. tizenegy..
↑ Brent, Richard (1975), Traub, JF, szerk., Multiple-precision zero-finding method and the complexity of elementary function assessment , Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176 , < http:// wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html > Archiválva : 2008. július 23. a Wayback Machine -nél
↑ Jonathan M Borwein. Pi: Forráskönyv. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713 . (Angol)
↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. Különféle polilogaritmikus állandók gyors számításáról // A számítás matematikája. - 1997. - T. 66 , sz. 218 . - S. 903-913 . (Angol)
↑ Fabrice Bellard . Egy új képlet a pi n- edik bináris számjegyének kiszámításához . Letöltve: 2010. január 11. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 21..
↑ Simon Plouffe. A Ramanujan's Notebooks (2. rész) (eng.) által ihletett identitások (nem elérhető link) . Letöltve: 2010. január 11. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 21..
↑ Új rekord születik a π szám kiszámításának pontosságában (elérhetetlen link) . Letöltve: 2009. augusztus 20. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 22.. (határozatlan)
↑ 10 billió decimális számjegy a π-hez (lefelé irányuló kapcsolat) meghatározva . Letöltve: 2019. október 4. Az eredetiből archiválva : 2018. július 25. (határozatlan)
↑ 2. kör… 10 billió Pi számjegy . Hozzáférés dátuma: 2011. október 22. Az eredetiből archiválva 2018. október 1-jén. (határozatlan)
↑ Pi - 12,1 billió számjegy . www.numberworld.org. Letöltve: 2019. október 29. Az eredetiből archiválva : 2018. október 1.. (határozatlan)
↑ A "pi" szám értékét 31,4 billió tizedesjegyre számolták ki . www.mk.ru Letöltve: 2019. március 14. Az eredetiből archiválva : 2019. március 14. (Orosz)
↑ Svájci kutatók új rekordot hirdettek a pontos pi érték tekintetében . phys.org (2021. augusztus 17.). Letöltve: 2021. augusztus 17. Az eredetiből archiválva : 2021. augusztus 17.
↑ Világrekord kísérlet az UAS Grisons által . fhgr.ch (2021. augusztus 17.). Letöltve: 2021. augusztus 17. Az eredetiből archiválva : 2021. augusztus 17.
↑ Roman Kildyuskin. A Google felállítja a Pi-számítás világrekordját A Google a Pi-t 100 billió tizedesjegyig számolta . Gazeta.ru (2022.06.9.). Letöltve: 2022. június 10. Az eredetiből archiválva : 2022. június 10. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Az irracionalitás mértéke a Wolfram MathWorldnél .
↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. A Pi irracionalitás mértéke legfeljebb 7,103205334137 . archive.org (2019). Archiválva : 2020. október 17. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Pi a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Néhány megoldatlan számelmélet probléma . Letöltve: 2010. szeptember 27. Az eredetiből archiválva : 2010. július 19. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Transzcendentális szám (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Bevezetés az irracionalitás és transzcendencia módszerekbe . Hozzáférés dátuma: 2010. szeptember 27. Az eredetiből archiválva : 2013. május 17. (határozatlan)
↑ A mindenütt jelenlévő "pi" szám, 2007 , p. 67-69.
↑ Megtévesztés vagy téveszme? Archivált : 2012. január 30., a Wayback Machine // Kvant. - 1983. - 5. sz.
↑ Galperin G.A. Biliárd dinamikus rendszer a pi -hez A Wayback Machine 2014. június 13-i archív példánya .
↑ "Elemi geometria" Kiszeljov 225. o
↑ 21 éves 70 000 pi számjegyet memorizál, Guinness-rekordot állított fel . Letöltve: 2016. április 3. Az eredetiből archiválva : 2016. április 18.. (határozatlan)
↑ A kínai diák megdöntötte a Guiness-rekordot 67 890 számjegyű pi felolvasásával . Letöltve: 2010. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2011. május 7.. (határozatlan)
↑ Interjú Mr. Chao Lu . Letöltve: 2010. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2010. szeptember 24.. (határozatlan)
↑ Hogyan tud valaki 100 000 számra emlékezni? – The Japan Times, 2006.12.17.
↑ Pi világranglista . Letöltve: 2010. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2010. szeptember 30.. (határozatlan)
↑ Julia Sztálin. „A Johnny Deppről szóló gondolatok segítettek”: egy jekatyerinburgi iskolás a Pi 13202 számjegyét memorizálta . KP.RU (2019.10.28.). Letöltve: 2022. június 10. Az eredetiből archiválva : 2022. május 15. (határozatlan)
↑ The Indiana Pi Bill, 1897 Archiválva : 2016. június 17. a Wayback Machine -nél
↑ A Los Angeles Times "Szeretnél egy darabot " cikke? (a név a szám és a pite szó írásmódjának hasonlóságán játszik szerepet $\pi$ $\pi$ ) 2009. február 19-i archív másolat a Wayback Machine -nél (2013-05-22-től [3451 nap] elérhetetlen hivatkozás) - történelem , másolat ) (eng.) .
↑ Idézet a könyv 16-17. oldaláról: Perelman Ya. I. A kör négyzetre emelése. - L . : Szórakoztató tudomány háza, 1941.

Irodalom

Zsukov A. V. A π számról . - M. : MTsMNO, 2002. - 32 p. - ISBN 5-94057-030-5 .
Zsukov A. V. A mindenütt jelenlévő „pi” szám. - 2. kiadás - M . : LKI Kiadó, 2007. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Quimpan, Florida. A pi története. — M .: Nauka , 1971. — 217 p.
Navarro, Joaquin. A szám titkai Miért megoldhatatlan a kör négyzetre emelésének problémája. — M .: De Agostini, 2014. — 143 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 7. kötet). - ISBN 978-5-9774-0629-1 . $\pi.$
Perelman Ya. I. A kör négyzetre emelése. - L . : A szórakoztató tudomány háza, 1941.Újrakiadás: YOYO Media,ISBN 978-5-458-62773-3.
Shumikhin S., Shumikhina A. Pi szám. 4000 éves történelem. - M . : Eksmo, 2011. - 192 p. - (Az univerzum titkai). - ISBN 978-5-699-51331-4 . — ISBN 5-4574041-9-6 . - ISBN 978-5-4574041-9-9 .
David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Pi: The Next Generation Forráskönyv a Pi és számításának legújabb történetéről. - Springer, 2016. - 507 p. — ISBN 978-3-319-32375-6 .
Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — P. 194–196. – 270 p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .

Linkek

pi.delivery Archiválva : 2020. november 10. a Wayback Machine -nél 50 billió pi (világrekord) számjegy.
Weisstein, Eric W. Pi képletek (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A Pi különféle ábrázolásai archiválva 2011. augusztus 12-én a Wayback Machine -nél a WolframAlpha -n
https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ Archivált 2021. január 12-én a Wayback Machine -nél
A000796 szekvencia az OEIS -ben
22,4 billió pi számjegy archiválva 2020. november 10-én a Wayback Machine -nél

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX536170 GND : 4174646-6 J9U : 987007546007205171 LCCN : sh85101712 NDL : 00562015 NKC : ph117728

Számok tulajdonnévvel

Matematikai állandók

Algebrai

Transzcendentális ,
valószínűleg transzcendentális

Ezer fok

Régi orosz számok

A tíz többi hatványa

Tizenkettő hatványai

Más egész

Egyéb számok

képzeletbeli egység

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus