Constant Catalana

A katalán konstans a matematika különféle alkalmazásaiban – különösen a kombinatorikában – megtalálható szám . Leggyakrabban G betűvel , ritkábban K vagy C betűvel jelölik. Meghatározható egy végtelen előjelű váltakozó sorozat összegeként :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\pontok

Számértéke hozzávetőlegesen [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … ( A006752 sorozat az OEIS -ben )

Nem ismert, hogy G racionális vagy irracionális szám.

A Catalana állandó nevét Eugène Charles Catalan ( franciául Eugène Charles Catalan ) belga matematikusról kapta.

Kapcsolat más funkciókkal

A katalán konstans a Dirichlet béta függvény speciális esete :

G=\beta (2).

Megfelel a klózfüggvény sajátos értékének is , amely a dilogaritmus képzeletbeli részéhez kapcsolódik.

G=\operátornév {Cl} _{2}(\pi /2)=\operátornév {Im} \left(\operátornév {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ right)=\operátornév {Im} {\big (}\operátornév {Li} _{2}(i){\big )}.

Ezenkívül a tört argumentumok trigamma- függvényének (a poligamma - függvény speciális esete ) értékéhez kapcsolódik.

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

így

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right].

Simon Pluff végtelen számú azonosságot talált a trigamma-függvényésa katalán G konstans között . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

A katalán állandó a Barnes G-függvény és a gamma-függvény parciális értékeivel is kifejezhető :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\jobbra)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8 ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\jobbra)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\jobbra).

Integrális reprezentációk

Az alábbiakban a katalán G konstans néhány integrálábrázolása látható az elemi függvények integráljaiban :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Az első típusú K( x ) teljes elliptikus integrál integrálján keresztül is ábrázolható :

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Gyors konvergens sorozat

A következő képletek gyorsan konvergens sorozatokat tartalmaznak, és numerikus számításokhoz hasznosak:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

és

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\jobbra)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\jobbra).$

Az ilyen típusú sorozatok használatának elméleti indoklását Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar adta meg az első képlethez [ 2] és David J. Broadhurst a második képlethez [3] . A katalán állandó gyors kiszámítására szolgáló algoritmusokat E. A. Karatsuba építette [4] [5] .

Folytatva törtek

A katalán állandó folyamatos törtrésze ( az OEIS -ben az A014538 szekvencia ) a következő:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\pontok ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

A katalán állandó következő általánosított folytatólagos törtjei ismertek:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\pontok }{\pontok +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\pontok ))))))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cpont (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\pontok }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Tizedesjegyek kiszámítása

A katalán G konstans ismert szignifikáns számjegyeinek száma jelentősen megnőtt az elmúlt évtizedekben, mind a megnövekedett számítógépteljesítménynek, mind a továbbfejlesztett algoritmusoknak köszönhetően [7] .

A G katalán állandó ismert jelentős számjegyeinek száma

dátum	A jelentős számjegyek száma	Számítási szerzők
1865	tizennégy	Eugene Charles Catalan
1877	húsz	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Greg J Fee
1996	50 000	Greg J Fee
1996. augusztus 14	100 000	Greg J. Fee és Simon Plouff
1996. szeptember 29	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998. január 4	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon és Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon és Pascal Sebah
2006 október	5 000 000 000	Shigeru Kondo és Steve Pagliarulo [8]
2008 augusztus	10 000 000 000	Shigeru Kondo és Steve Pagliarulo [9]
2009. január 31	15 510 000 000	Alexander J. Yee és Raymond Chan [10]
2009. április 16	31 026 000 000	Alexander J. Yee és Raymond Chan [10]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Katalán konstans 1 500 000 helyig (HTML). gutenberg.org. Letöltve: 2011. február 5. Az eredetiből archiválva : 2009. szeptember 24.. (határozatlan)
↑ B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, I. rész, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, " Polylogaritmikus létrák, hipergeometrikus sorozatok és a ζ(3) és ζ(5) tízmilliomodik számjegyei Archiválva : 2019. július 13. a Wayback Machine -nél ", (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Transzcendentális függvények gyors számítása // Az információátvitel problémái. - 1991. - T. 27 , 4. sz . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, A matematikai fizika néhány speciális integráljának gyors számítása. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, szerk.; pp. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Matematikai állandók 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Archiválva : 2011. január 15. a Wayback Machine -nél
↑ Shigeru Kondo weboldala Archivált : 2008. február 11.
↑ Számítási állandók és rekordok . Letöltve: 2011. február 6. Az eredetiből archiválva : 2011. január 15.. (határozatlan)
↑ 12 nagy számítások . Letöltve: 2011. február 6. Az eredetiből archiválva : 2009. december 9.. (határozatlan)

Linkek

Victor Adamchik, a katalán állandó 33 reprezentációja
Viktor Adamchik. Egy bizonyos sorozat, amely a katalán konstanshoz kapcsolódik // Zeitschr . f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): folyóirat. - 2002. - 20. évf. 21 , sz. 3 . - P. 1-10 .
Simon Plouffe, Néhány identitás (III) katalánnal Archiválva 2009. április 20-án a Wayback Machine -nél , (1993)
Simon Plouffe, Néhány azonosság a katalán konstanssal és a Pi² -vel Archiválva : 2009. április 21., a Wayback Machine , (1999)
Weisstein, Eric W. Catalan Constant (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Katalán állandó: Általánosított hatványsor a Wolfram-függvényeknél
Greg Fee, a katalán állandó (Ramanujan's Formula) (1996)
David M. Bradley. Sorozatgyorsítási képletek osztálya a katalán állandóhoz // The Ramanujan Journal : Journal. - 1999. - 1. évf. 3 , sz. 2 . - 159-173 . o . - doi : 10.1023/A:1006945407723 .
David M. Bradley (2007), Sorozatgyorsulási képletek osztálya a Katalán-állandóhoz, arΧiv : 0706.0356 .

Számok tulajdonnévvel

Matematikai állandók

Algebrai

Transzcendentális ,
valószínűleg transzcendentális

Ezer fok

Régi orosz számok

A tíz többi hatványa

Tizenkettő hatványai

Más egész

Egyéb számok

képzeletbeli egység