Riemann zéta függvény

A Riemann zéta függvény egy komplex változó függvénye , a Dirichlet-sor segítségével definiálva : $\displaystyle \zeta (s)$ $s=\sigma +it$ $\sigma >1$

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s }}}+\lpontok .

A komplex félsíkban ez a sorozat konvergál , analitikus függvénye a teljes komplex síknak , és a szinguláris pont kivételével analitikus folytatást enged be . ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s>1\))$ $s$ $s=1$

A Riemann zéta függvény nagyon fontos szerepet játszik az analitikus számelméletben , alkalmazható az elméleti fizikában , a statisztikában és a valószínűségszámításban .

Különösen, ha eddig sem a bizonyított, sem a cáfolt Riemann-hipotézis a zéta-függvény összes nem-triviális nullának a közvetlen komplex síkon való helyzetéről nem igazolt vagy cáfolódik , akkor számos fontos prímszámtétel a Riemann-hipotézisen alapul. a bizonyíték vagy igaz lesz, vagy hamis. $\operatorname {Re} s=1/2$

Euler személyazonossága

A végtelen szorzatként való ábrázolás a tartományban is érvényes ( Euler-identitás ) $\{s\mid \operatorname {Re} s>1\}$

\zeta (s)=\prod _{{\text{number }}p \atop {\text{simple}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Bizonyíték

A bizonyítás ötlete csak egyszerű algebrát használ, amely egy szorgalmas iskolás fiú számára hozzáférhető. Euler eredetileg így származtatta a képletet. Eratoszthenész szitájának van egy olyan tulajdonsága , amelyből profitálhatunk:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\lpont

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\lpont

Ha kivonjuk a másodikat az elsőből, eltávolítjuk az összes elemet, amelynek osztója 2:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{ 11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\lpont

Ismételje meg a következőket:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1 }{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{ s))}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\lpont

Ismét kivonva kapjuk:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta ( s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+ {\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots ,

ahol az összes 2-es és/vagy 3-as osztó elemet eltávolítjuk.

Mint látható, a jobb oldalt szitán átszitáljuk. Végtelenül ismételve a következőket kapjuk:

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ bal(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1.

Mindkét oldalt elosztjuk mindennel, kivéve , a következőt kapjuk: $\zeta (s)$

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{ 3^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{7^{s}} }\right)\left(1-{\dfrac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}),

amely rövidebbre írható végtelen szorzatként az összes p prímre :

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s))}.

Ahhoz, hogy a bizonyítás szigorúbb legyen, csak azt kell megkövetelni, hogy amikor a szitált jobb oldal megközelítse az 1-et, ami közvetlenül következik a Dirichlet - sorok konvergenciájából . $\operatorname {Re} s>1$ $\zeta (s)$

Ez az egyenlőség a zéta-függvény egyik fő tulajdonsága.

Tulajdonságok

Ha az aszimptotikus kiterjesztést az alak részösszegeire vesszük ${\displaystyle {N\rightarrow +\infty ))$ $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}} N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {1}{12}}sN^{-1-s}+\pontok$ ,

érvényes -re , akkor is igaz marad mindenre , kivéve azokat, amelyekre (ezek a zéta függvény triviális gyökei ). Ebből a következő képleteket kaphatjuk : ${\rm {Re}}\,s>1$ $s$ $2-s\in {\mathbb {N} }$ $\zeta (s)$

$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$ , at , kivéve ; ${\rm {Re}}\,s>0$ $s=1$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$ , -val , kivéve a vagy ; ${\rm {Re}}\,s>-1$ $s=1$ $0$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {1}{12}} sN^{-1-s}\jobbra)$ , -val , kivéve , vagy stb. ${\rm {Re}}\,s>-2$ $s=1$ $0$ $-egy$

Vannak explicit képletek a zéta függvény értékeinek páros egész pontokban: $\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}$ , hol van a Bernoulli-szám . $\displaystyle B_{{2m}}$

Különösen ( fordított négyzetes sorozat ),

\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Ezen kívül a , ahol a poligamma függvény ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
A zéta-függvény páratlan egész pontokban lévő értékeiről keveset tudunk: feltételezik, hogy irracionálisak , sőt transzcendentálisak , de eddig (2019) csak a ζ(3) szám irracionalitása bizonyított ( Roger Apéry , 1978), valamint azt is, hogy a ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) értékek között van még legalább egy irracionális [1] .
Nál nél $\operátornév {Re} \,s>1$
- ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ , hol van a Möbius függvény $\displaystyle \mu(n)$
- ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}$ , hol van a Liouville függvény $\displaystyle \lambda (n)$
- $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , ahol a szám osztóinak száma $\displaystyle \tau (n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n )}}{n^{s}}}$ , ahol a szám prímosztóinak száma $\displaystyle \nu(n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2 })}{n^{s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n)) ^{2}}{n^{s}}}$
Nál nél $\operatorname {Re} \,s>2$
- ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}$ , hol van az Euler-függvény $\displaystyle \varphi (n)$
$\displaystyle \zeta (s)$ egyszerű pólusa van abban a pontban, amelynek maradéka egyenlő 1-gyel. $\displaystyle s=1$
A zéta függvény kielégíti a következő egyenletet: $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$ ,

hol van az Euler gammafüggvény . Ezt az egyenletet Riemann-féle funkcionális egyenletnek nevezik , bár ez utóbbi sem a szerzője, sem nem az, aki először szigorúan bizonyította [2] .

\displaystyle \gamma (z)

A funkció miatt $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zéta(k)$ ,

Riemann által a kutatáshoz bevezetett és Riemann-féle x-függvénynek nevezett egyenlet a következőképpen alakul:

\displaystyle \zeta (s)

\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)

A zéta függvény nullái

A Riemann-függvényegyenletből következik, hogy a félsíkban a függvénynek csak a negatív páros pontokban egyszerű nullái vannak: . Ezeket a nullákat a zéta-függvény „triviális” nulláinak nevezzük. Ráadásul tényleg . Ezért a zéta-függvény minden „nem triviális” nullája komplex szám. Ezenkívül szimmetrikus tulajdonságuk van a valós tengelyhez és a függőlegeshez képest, és a kritikus sávnak nevezett sávban helyezkednek el . A Riemann-hipotézis szerint ezek mind a kritikus vonalon vannak . $\operátornév {Re} \,s<0$ $\zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\pontok$ $\zeta (s)\neq 0$ $s\in(0,1)$ $\operátornév {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ $0\leqslant \operátornév {Re} \,s\leqslant 1$ $\operátornév {Re} \,s={\frac {1}{2}}$

Konkrét értékábrázolások

ζ(2)

A képletből , ahol a Bernoulli - szám , azt kapjuk . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Egyéb sorábrázolások

Az alábbiakban további sorozatok láthatók, amelyek összege [3] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k }}}}\\\vége{igazított}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1 )!(j-1)!}{(i+j)!}}\end{igazított}}

Vannak olyan ábrázolások is a Bailey-Borwain-Pluff képlet formájára , amelyek bizonyos számrendszerekben lehetővé teszik a rekord előjelének kiszámítását az előzőek kiszámítása nélkül [3] : $\zeta (2)$ $k$

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k} }}\left[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{ (6k+3)^{2))}-{\frac {6}{(6k+4)^{2))}+{\frac {1}{(6k+5)^{2))}\ jobbra]\end{igazított}}

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k} }}\left[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{ (12k+4)^{4))}-{\frac {27}{(12k+5)^{2))}-\jobbra.\\-\bal.{\frac {72}{(12k+6 )^{2))}-{\frac {9}{(12k+7)^{2))}-{\frac {9}{(12k+8)^{2))}-{\frac { 5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}

Integrális reprezentációk

Az alábbiakban a Riemann zéta függvény [4] [5] [6] segítségével kapott integrálok bevonására szolgáló képletek találhatók : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Folytatva törtek

A folyamatos törtreprezentációk egy részét az Apéry -állandó hasonló reprezentációival kapcsolatban kaptuk , ami lehetővé tette irracionalitásának bizonyítását. $\zeta (2)$ $\zeta (3)$

\zeta (2)={\cfrac {2}{1+{\cfrac {1^{4}}{3+{\cfrac {2^{4}}{5+{\cfrac {3^ {4}}{7+{\cfrac {\pontok }{\pontok +{\cfrac {n^{4}}{(2n-1)+\pontok }}))))))))))))))) ))))

[7]

\zeta (2)=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{1+{\cfrac {n\cpont (n+1)}{1+\pontok }}}}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

\zeta (2)={\cfrac {5}{3+{\cfrac {1^{4}}{25+{\cfrac {2^{4}}{69+{\cfrac {3^ {4}}{135+{\cfrac {\pontok }{\pontok +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}-11n+3)+\pontok }}}}}}} }}}}}

[nyolc]

\zeta (2)={\frac {5}{3}}+{\cfrac {1}{25+{\cfrac {1^{4}}{69+{\cfrac {2^{4 }}{135+{\cfrac {3^{4}}{223+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}+11n+3 )+\pontok }}}}}}}}}}}}}

[9]

ζ(3)

Az egyik legrövidebb reprezentáció az , hogy hol van a poligamma függvény . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\zeta (3)\kb. 1,2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ $\psi$

Folytatva törtek

Az Apéry-állandó ( A013631 szekvencia az OEIS -ben ) folyamatos törtrésze a következő:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

Stieltjes és Ramanujan egymástól függetlenül fedezte fel az Apéry-állandó első általánosított folytonos törtjét, amelynek szabályszerűsége van :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\pontok }{\pontok +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\pontok }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Átalakítható:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\pontok }}}}}}}}}}}}}}}}

Az Aperi fel tudta gyorsítani a folyamatos tört konvergenciáját egy állandóra:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\pontok }}}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

ζ(4)

A képletből , ahol a Bernoulli - szám , azt kapjuk . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

ζ(5)

Az egyik legrövidebb reprezentáció az , hogy hol van a poligamma függvény . $\zeta (5)=-{\frac {\psi ^{(4)}(1)}{24))$ $\zeta (5)\kb. 1,0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ $\psi$

Általánosítások

A Riemann-zéta-függvényhez meglehetősen sok speciális függvény kapcsolódik, amelyeket a zéta-függvény közös neve egyesít és annak általánosításai. Például:

Hurwitz zéta függvény : $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

ami egybeesik a Riemann zéta függvénnyel q = 1-re (mert az összegzés 0-tól kezdődik, nem 1-től).

Polilogaritmus : $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

ami megegyezik a Riemann-zéta-függvénnyel z = 1-nél.

Lerch zéta függvény : $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

ami egybeesik a Riemann zéta függvénnyel z = 1 és q = 1 esetén (mivel az összegzés 0-tól származik, nem 1-től).

Kvantumanalóg ( q -analóg).

Hasonló konstrukciók

A Gauss-féle útintegrálok elméletében felmerül a determinánsok szabályosságának problémája . Megoldásának egyik megközelítése az operátor zéta függvényének bevezetése [11] . Legyen egy nem negatívan definiált önadjungált operátor , amelynek tisztán diszkrét spektruma van . Sőt, létezik olyan valós szám , hogy az operátornak van egy nyoma . Ekkor az operátor zéta-függvénye egy tetszőleges, félsíkban fekvő komplex számra van definiálva, és konvergens sorozattal megadható $A$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$ $\alpha >0$ $(I+A)^{-\alpha }$ $\zeta _{A}(s)$ $A$ $s$ $\mathrm {Re} s>\alpha$

\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Ha az így definiált függvény beenged egy analitikus folytatást a pont valamely szomszédságát tartalmazó tartományba , akkor ennek alapján meg lehet határozni az operátor regularizált determinánsát a képlet szerint. $s=0$ $A$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Történelem

Egy valós változó függvényében a zéta függvényt 1737-ben vezette be Euler , aki jelezte annak szorzattá való bomlását. Ezután ezt a függvényt Dirichlet , és különösen sikeresen Csebisev is figyelembe vette, amikor a prímszámok eloszlásának törvényét tanulmányozta. A zéta-függvény legmélyebb tulajdonságait azonban később fedezték fel Riemann (1859) munkája nyomán, ahol a zéta-függvényt egy komplex változó függvényének tekintették.

Lásd még

Az összes zéta függvény listája

Jegyzetek

↑ Zudilin V. V. A zéta-függvény értékeinek irracionalitásáról páratlan pontokban // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , 2. szám (338) . – S. 215–216 .
↑ Blagushin Ya. V. A zéta-függvény funkcionális egyenletének története és a különböző matematikusok szerepe a bizonyításban // Szemináriumok a Szent Péter matematika történetéről. V. A. Steklov RAS. — 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta függvény \zeta(2) . Mathworld . Letöltve: 2018. április 29. Az eredetiből archiválva : 2018. április 29. (határozatlan)
↑ Connon DF, Néhány sorozat és integrál, beleértve a Riemann Zeta függvényt, a binomiális együtthatókat és a harmonikus számokat (I. rész), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Kettős integrál . Mathworld . Letöltve: 2018. április 29. Az eredetiből archiválva : 2018. április 29. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Hadjicostas képlete . Mathworld . Letöltve: 2018. április 29. Az eredetiből archiválva : 2018. április 29. (határozatlan)
↑ 12 Steven R. Finch matematikai állandók 1.4.4 . Letöltve: 2020. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2020. november 28. (határozatlan)
↑ Folytatva a Zéta(2) és Zéta(3) törtek . tpiezas: ALGEBRAI IDENTITÁSOK GYŰJTEMÉNYE . Letöltve: 2018. április 29. Az eredetiből archiválva : 2018. április 29. (határozatlan)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), Bizonyíték arra, hogy Euler elmulasztotta... Apéry bizonyítékát a ζ irracionalitására (3) , The Mathematical Intelligencer 1. kötet (4): 195–203, doi : 10.1007/BF34308 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ Steven R. Finch Matematikai állandók 1.6.6 . Letöltve: 2020. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2020. november 28. (határozatlan)
↑ Takhtajyan, 2011 , p. 348.

Irodalom

Derbyshire J. Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. — M.: Astrel, 2010. — 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 . .
Takhtadzhyan L. A. Kvantummechanika matematikusoknak / Angolból fordította Ph.D. S. A. Szlavnov . - Szerk. 2. - M. -Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", Izhevsk Számítógépes Kutatóintézet, 2011. - 496 p. - ISBN 978-5-93972-900-0 .
Yanke E., Emde F., Losh F. Speciális függvények: képletek, grafikonok, táblázatok / Per. a 6. átdolgozott német kiadásból, szerk. L. I. Sedova. - Szerk. 3., sztereotípia. — M .: Nauka, 1977. — 344 p.

Linkek

Jonathan Sondow és Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .