Nulla funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Egy függvény nullája a matematikában a függvény tartományából származó elem , amelyben nulla értéket vesz fel. Például egy képlettel megadott függvényre $f$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ nulla, mert

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

A függvény nulláinak fogalma minden olyan függvénynél figyelembe vehető, amelynek tartománya a megfelelő algebrai szerkezet nulla vagy nulla elemét tartalmazza .

Valós változó függvényében a nullák azok az értékek, amelyeknél a függvény grafikonja metszi az x tengelyt . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Egy függvény nulláinak megtalálása gyakran numerikus módszereket igényel (például Newton-módszer , gradiens módszerek ).

Az egyik megoldatlan matematikai probléma a Riemann zéta-függvény nulláinak megtalálása .

Polinom gyök

Algebra alaptétele

Az algebra alaptétele kimondja, hogy minden n fokú polinomnak n komplex gyöke van , tekintettel azok multiplicitására. A köbös egyenletnek, mint fentebb látható, mindig három összetett gyöke van, figyelembe véve a multiplicitást. Egy polinom minden képzeletbeli gyöke, ha van ilyen, mindig csak akkor szerepel a konjugált párokban, ha a polinom összes együtthatója valós. Minden valós együtthatójú páratlan fokú polinomnak van legalább egy valós gyöke. Egy polinom gyökei és együtthatói közötti kapcsolatot Vieta tétele állapítja meg .

Komplex elemzés

Valamely tartományban holomorf függvény egyszerű nullája egy olyan pont , amelynek valamelyik szomszédságában az ábrázolás érvényes , ahol holomorf , és ezen a ponton nem tűnik el. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\in G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $g$ $z_{0}$

$k$ Egy holomorf függvény nulla sorrendje valamely tartományban egy olyan pont , amelynek valamelyik szomszédságában az ábrázolás érvényesül , ahol holomorf , és ezen a ponton nem tűnik el. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\in G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $g$ $z_{0}$

Elszigetelt holomorf függvény nullai .

Az összetett függvények nulláinak egyéb specifikus tulajdonságait különféle tételekben fejezzük ki:

Történelem

Köbös egyenletek

Történelmileg az imaginárius számok fogalmát három különböző valós gyökű harmadfokú egyenlet megoldásával fejlesztették ki . A Cardano-képlet szerint az egyenlet mindhárom gyöke egyenlő $x$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\jobbra)^{n}C\jobbra]^{-1},$

ahol (a plusz vagy mínusz helyére mindkét jel passzol, hacsak C nem megy 0-ra), és az összes lehetséges 3. fokú összetett gyöke 1-ből , nevezetesen , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} }{27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $egy$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Ha a négyzetgyök alatti szám kisebb, mint nulla, és k és l valós, akkor és nem valós konjugált számok, ami azt jelenti, hogy összeadva a köbegyenlet három különböző valós gyökét kapjuk. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\jobb)^{-1}$
Ha egyenlő nullával, akkor a köbegyenletnek egy háromszoros gyöke vagy két különböző gyöke van, amelyek közül az egyik kétszeres. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Ha több mint nulla, és k és l valós, akkor az egyik szám valós , azonban már nem konjugált: különböző moduljaik vannak , - és ennek eredményeként a köbegyenletnek csak egy valós gyöke van, és a másik kettő nem . _ ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\jobb)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - ez az egyenlet diszkriminánsa , melynek előjele éppen a gyökök valóságosságát és sokszínűségét határozza meg. $x^{3}+kx+l=0,$

Első pillantásra az 1. és 3. bekezdés paradox eseteket mutat be. Ezt a furcsaságot Rafael Bombelli feloldotta és alátámasztotta, és lehetővé tette számára, hogy teljesen legalizálja a képzeletbeli számokat, valamint a negatív számokat, amelyeket előtte Európában nem ismertek fel.

Irodalom

Funkció nulla - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
Weisstein, Eric W. Root (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .