Vieta képletek

A Vieta képletek olyan képletek, amelyek egy polinom együtthatóit és gyökeit kapcsolják össze .

Ezekkel a képletekkel kényelmesen ellenőrizhető a polinom gyökeinek helyessége, valamint adott gyökökből polinom összeállítása.

Ezek az azonosságok implicit módon benne vannak François Vieta munkáiban . Viet azonban csak a pozitív valódi gyökereket tekintette, így nem volt lehetősége általános formában megírni ezeket a képleteket. [1] :138-139

Megfogalmazás

Ha a polinom gyökei $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n))

(mindegyik gyökér többszörösének megfelelő számot vesz fel), majd az együtthatók szimmetrikus polinomok formájában fejeződnek ki a gyökekből [2] , nevezetesen: $a_{1},\ldots ,a_{n}$

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{ 2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_ {3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{ n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_ {1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(- 1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Más szóval, egyenlő a gyökerekből származó összes lehetséges termék összegével. $(-1)^{k}a_{k}$ $k$

Következmény : Vieta utolsó képletéből az következik, hogy ha egy polinom gyökei egész számok, akkor azok osztói annak szabad tagjának, amely szintén egész szám.

Ha a polinom vezető együtthatója nem egyenlő eggyel:

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

majd a Vieta képlet alkalmazásához először el kell osztania az összes együtthatót ezzel (ez nem befolyásolja a polinom gyökeinek értékét). Ebben az esetben a Vieta-képletek kifejezik az összes együttható arányát a legmagasabbhoz: $a_{0}$

{\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{ k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.

Bizonyítás

A bizonyítást úgy hajtjuk végre, hogy figyelembe vesszük a polinom gyökekkel való bővítésével kapott egyenlőséget, figyelembe véve, hogy $a_{0}=1$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})( x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).

Az együtthatók egyenlő hatványon való egyenlővé tételével ( egyediségi tétel ) megkapjuk a Vieta-képleteket. $x$

Példák

Másodfokú egyenlet

Ha és a másodfokú egyenlet gyökei , akkor $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a)),\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a }}.\end{cases}}

Egy adott esetben, ha (redukált forma ), akkor $a=1$ $x^{2}+px+q=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases))

Köbös egyenlet

Ha a köbegyenlet gyökei , akkor $x_{1},x_{2},x_{3}$ $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3 }+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{ esetek}}

Változatok és általánosítások

A fenti bizonyításból látható, hogy a Vieta-képletek tisztán algebrailag az összeadás és szorzás tulajdonságaiból származnak. Ezért alkalmazhatók tetszőleges integritási tartományból származó együtthatókkal rendelkező polinomokra, ha a polinom vezető együtthatója eggyel egyenlő, és a gyökök a hányadosok mezőjének algebrai zárásában találhatók . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K} .$

Ha egy polinom együtthatóit egy tetszőleges kommutatív gyűrűből vesszük, amely nem integritási tartomány (vagyis nulla osztója van ), akkor a Vieta-képletek általában nem teljesülnek. Vegyük például a 8-as modulo maradékok gyűrűjét és a polinomot , amelynek nem két, hanem négy gyöke van ebben a gyűrűben: Ezért a bizonyításban használt lineáris faktorokra bontás, amelyek száma megegyezik a gyökök számával, nem történik meg, és a Vieta-képlet, amint azt könnyen ellenőrizhető, hibás. $\mathbb {K}$ $P(x)=x^{2}-1.$ $1,3,5,7.$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Florian Cajori. A matematika története. — 5. kiadás. – 1991.
↑ Polinomok algebra, 1980 , p. 26-28.

Irodalom

Vinberg E. B. Polinomok algebra. Tankönyv a pedagógiai intézetek fizikai és matematikai karainak III-IV tagozatos hallgatóinak. - M . : Oktatás, 1980.
Weisstein, Eric W. Vieta képletei / A MathWorldből -- Wolfram webes forrás
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), "Viète theorem" (hivatkozás nem érhető el) , Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (angol)
Funkhouser, H. Gray (1930), "Rövid beszámoló az egyenletgyökök szimmetrikus függvényeinek történetéről", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 37 (7): 357-365, doi: 10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 _