Polinom gyök

Polinom gyöke (nem azonos nulla )

a_{0}+a_{1}x+\pontok +a_{n}x^{n}

egy mező felett olyan elem (vagy a mezőbővítés eleme ) , amelyre a következő két egyenértékű feltétel teljesül: $K$ $c\in K$ $K$

az adott polinom osztható a polinommal ; $xc$
egy elem helyettesítése megfordítja az egyenletet $c$ $x$

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0

azonosságba , azaz a polinom értéke nulla lesz .

A két megfogalmazás egyenértékűsége Bézout tételéből következik . Különböző forrásokban a két megfogalmazás közül az egyiket definícióként választják, míg a másikat tételként vezetik le.

Egy gyökről azt mondjuk, hogy multiplicitása van , ha a szóban forgó polinom osztható -vel, és nem osztható -vel . A "több gyökér" kifejezés azt jelenti, hogy a gyökér többszörössége nagyobb, mint egy. $c$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $egy$ $2$

Egy polinomról azt mondjuk, hogy gyökei vannak a multiplicitástól függetlenül, ha minden gyökét figyelembe vesszük az egyszeri számolásnál. Ha minden gyökér megszámlálása a többszörösével megegyező számú alkalommal történik, akkor azt mondják, hogy a számítást a multiplicitás figyelembevételével végzik . $n$

Tulajdonságok

A multiplicitású polinom gyökeinek száma nem kevesebb, mint multiplicitás nélkül.
Egy fokos polinom gyökeinek száma akkor sem haladja meg , ha a többszörös gyököket a multiplicitás figyelembevételével számoljuk. $n$ $n$
Minden összetett együtthatós polinomnak van legalább egy komplex gyöke ( Algebra alaptétele ). $p(x)$
- Hasonló állítás igaz minden algebrailag zárt mezőre a komplex számok mezője helyett (definíció szerint).
- Sőt, egy valós együtthatós polinom felírható így $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

ahol - (általános esetben összetett) a polinom gyökei , esetleg ismétlődésekkel, míg ha a polinom gyökei között egyenlőek vannak, akkor ezek közös értékét többszörös gyöknek nevezzük , a szám pedig ennek többszöröse gyökér.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

A komplex fokegyütthatós polinom komplex gyökeinek száma a multiplicitás figyelembevételével egyenlő . Ezenkívül a valós együtthatókkal rendelkező polinom minden tisztán összetett gyöke (ha van ilyen) felosztható azonos multiplicitású konjugátumpárokra . Így egy páros fokú valós együtthatós polinomnak a multiplicitást figyelembe véve csak páros számú valós gyöke lehet, a páratlannak pedig csak páratlan. $n$ $n$
Egy polinom gyökét a Vieta-képletekkel viszonyítjuk az együtthatóihoz .

Gyökerek keresése

A lineáris és másodfokú polinomok gyökereinek általános formában történő megtalálásának módszere, vagyis a lineáris és másodfokú egyenletek megoldása az ókorban ismert volt. A harmadfokú általános egyenlet pontos megoldásának képletének keresése sokáig folytatódott, mígnem a 16. század első felében Scipio del Ferro , Niccolo Tartaglia és Gerolamo Cardano műveiben siker koronázta. . A másodfokú és szögletes egyenletek gyökeinek képletei viszonylag egyszerűvé tették a negyedik fokú egyenlet gyökeinek képleteinek beszerzését .

Azt a tényt, hogy az ötödik és magasabb fokú általános egyenlet gyökereit nem racionális függvényekkel és az együtthatók gyökeivel fejezzük ki (azaz, hogy maguk az egyenletek nem oldhatók meg gyökökben ), Niels Abel norvég matematikus bizonyította 1826 - ban. [1] . Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy ilyen egyenlet gyökerei nem találhatók meg. Először is, az együtthatók néhány speciális kombinációja esetén az egyenlet gyökerei továbbra is meghatározhatók (lásd például a reciprok egyenletet ). Másodszor, vannak képletek az 5. és magasabb fokú egyenletek gyökereihez, speciális függvények használatával - elliptikus vagy hipergeometrikus (lásd például Bring gyökét ).

Ha egy polinom minden együtthatója racionális, akkor a gyökeinek megtalálása egy egész együtthatós polinom gyökeinek megtalálásához vezet. Az ilyen polinomok racionális gyökeihez léteznek algoritmusok a jelöltek felsorolás útján történő megtalálására a Horner-séma segítségével , és egész számok gyökeinek megtalálásakor a felsorolás jelentősen csökkenthető a gyökök tisztításával. Ebben az esetben is használhatja a polinomiális LLL algoritmust .

A valós együtthatós polinom valós gyökeinek közelítő (bármilyen szükséges pontossággal) meghatározásához iteratív módszereket használnak , például a szekáns módszert , a felező módszert , a Newton -módszert , a Lobachevsky-Greffe módszert . A polinom valós gyökeinek száma egy intervallumban a Sturm-tétel segítségével határozható meg .

Lásd még

Horner séma
A Lily-módszer egy grafikus módszer tetszőleges fokozatú polinomok valódi gyökereinek megtalálására.
Nulla funkció

Jegyzetek

↑ Ábel-tétel problémákban és megoldásokban - M.: MTSNMO, 2001. - 192 p. . Letöltve: 2011. november 9. Az eredetiből archiválva : 2021. január 22. (határozatlan)

Irodalom

Vinberg E. B. Polinomok algebra. - M . : Nevelés, 1980. - 176 p.
Prasolov VV polinomok . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .