Az ötödik fokozat egyenlete

Az ötödik fokú egyenletet a következő alakú egyenletnek nevezzük : $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Vieta tétele ötödfokú egyenletekre

Az ötödik fokú egyenlet gyökerei a következőképpen kapcsolódnak az együtthatókhoz : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$ ${\megjelenítési stílus a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Megoldás

Az ötödik fokú egyenlet megoldására nincs pontos képlet. Ha , akkor az egyenlet így néz ki: $a=1,f=0$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , ahol kivesszük a zárójelekből (lásd. Összefoglaló egyenlet ) $x$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , ahol az egyik gyök egyenlő nullával .

Negyedik fokú egyenlet zárójelben .

Ha , az egyenlet kétnegyedes . Az egyik gyök egyenlő nullával, a többi gyökérben a képlet keresi $b=d=0$

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Ha , a zárójelben lévő egyenlet $b=e=0$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , ahol kivesszük a zárójeleket:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , ahol az egyik gyök nulla, a másik három gyökeret a Cardano képlet segítségével keressük .

Példa

Oldja meg az egyenletet

$x^{5}+5x=0$ .

Megoldás. Vegyük ki a zárójelből: $x$

$x(x^{4}+5)=0$ .

Vegyük figyelembe: $x^{4}+5$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\sqrt {2}}}i)=0$ .

Az egyenletnek öt gyöke van:

$x_{1}=0$ , , , , . $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Linkek

Algebrai egyenletek
Lineáris egyenlet Másodfokú egyenlet köbös egyenlet A negyedik fokozat egyenlete Az ötödik fokozat egyenlete A hatodik fokozat egyenlete Hetedik fokozat egyenlete