Algebrailag zárt mező

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. december 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Az algebrailag zárt mező olyan mező , amelyben minden nullától eltérő fokkal rendelkező polinomnak van legalább egy gyöke . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

Bármely mezőnek létezik egy egyedi, egészen izomorfizmusa , algebrai zárása , azaz algebrai kiterjesztése , amely algebrailag zárt.

Tulajdonságok

Egy algebrailag zárt mezőben minden n fokú polinomnak pontosan n (számító multiplicitás) gyöke van -ben . Más szóval, minden irreducibilis polinom egy polinomgyűrűben 1-es fokozatú. Lásd még Bézout tételét . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$
A véges mezőket nem lehet algebrailag lezárni. Valójában tekinthetünk egy véges fokú polinomot, amelynek gyökei mind a mező elemei. Ha 1 -et adunk hozzá , akkor a kapott polinomnak nem lesz gyöke.
A valós számok mezőjének algebrai lezárása a komplex számok mezője . Algebrai zárását az algebra alaptétele állapítja meg .
A racionális számok mezőjének algebrai lezárása az algebrai számok mezője .
Az aritmetikai számok mezője algebrailag zárt.

Építkezés

Egy tetszőleges mező algebrai lezárásának egyik lehetséges konstrukciója Emil Artin alkotása volt .

Adott legyen a mező . Ennek a mezőnek algebrai lezárását kell megszerkeszteni. $\mathbb {K}$

Definiálható a mezőben található összes irreducibilis polinom halmazaként . Minden polinomhoz egy változó tartozik . Jelölje az összes ilyen változó halmazával . Polinomokból gyűrűt alkotunk . Kimutatható, hogy az alak összes polinomja által generált ideál nem egyszeres. Ekkor áttérhetünk az ideálist tartalmazó maximális ideálra (itt a választási axiómát használjuk ), és megkapjuk a mezőt . Ha a konstans polinomokat a főmező elemeivel azonosítjuk, akkor . $F\subset \mathbb {K} [x]$ $\mathbb {K}$ ${\displaystyle x_{f))$ $x$ $X=\{x_{f}|f\in F\}$ $\mathbb {K} [X]$ $én$ $f(x_{f})$ $ÉN'$ $én$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$

A mezőt úgy tekinthetjük, mint egy mezőt, amelyet úgy kapunk, hogy a mezőhöz hozzáadunk minden egyes irreducibilis polinom egy gyökét. A többi gyökér rögzítéséhez meg kell ismételnie ezt a konstrukciót. Ismételje meg a mezőre , és szerezze be a mezőt . Ennek megismétlésével egyszer elérheti a mezőt . Így van egy mezőtornyunk : $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $n$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n)) \subset \mathbb {K_{n } +1}} \subset \ldots

Ezeket a mezőket kombinálva a mezőt kapjuk . Ennek a mezőnek az algebrai lezárása nyilvánvaló. [egy] $\mathbb {K_{\infty ))=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968.