Galois elmélet

A Galois-elmélet az algebra egyik ága , amely lehetővé teszi a térelmélet bizonyos kérdéseinek újrafogalmazását a csoportelmélet nyelvén , bizonyos értelemben egyszerűbbé téve azokat.

Évariste Galois ennek az elméletnek a főbb állításait egy adott polinom gyökeinek permutációiban fogalmazta meg ( racionális együtthatókkal); ő volt az első, aki a " csoport " kifejezést olyan permutációk halmazának leírására használta, amely a kompozíció alatt zárt, és tartalmazza az azonosság-permutációt.

A Galois-elmélet modernebb megközelítése egy tetszőleges mező kiterjesztésének automorfizmusainak vizsgálata az adott kiterjesztéshez tartozó Galois-csoport segítségével .

Alkalmazások

A Galois-elmélet egyetlen elegáns megközelítést kínál olyan klasszikus problémák megoldására, mint

Milyen figurákat lehet építeni körzővel és vonalzóval ?
Milyen algebrai egyenletek oldhatók meg a standard algebrai műveletekkel ( összeadás , kivonás , szorzás , osztás és gyökkivonás )?

Gyökérszimmetriák

A gyökszimmetriák olyan permutációk a polinom gyökeinek halmazán, amelyekre bármely (több változós) racionális együtthatós algebrai egyenlet , amely kielégíti a gyököket, teljesül a permutált gyökekkel is.

Példa: másodfokú egyenlet

A másodfokú polinomnak két gyöke van , és a pontra szimmetrikusan . Két lehetőség van: $ax^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x=-b/(2a)$

Ha ezek a gyökök racionálisak, akkor csak egy gyök felel meg az egyenletnek, és az egyenletcsoport triviális. $x-x_{1}=0$
Ha a gyökök irracionálisak, akkor a csoport egy nem triviális elemet tartalmaz, és izomorf . $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Egy bonyolultabb példa

Tekintsük most a polinomot . $(x^{2}-5)^{2}-24$

A gyökerei : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\sqrt {3)),\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Ennek az egyenletnek a gyökereinek különféle permutációi vannak, de nem mindegyik szimmetria. A Galois-csoport elemeinek meg kell őrizniük minden racionális együtthatójú algebrai egyenletet. $4!=24$

Ezen egyenletek egyike a . Mivel a permutáció nem a Galois-csoportban található. $a+d=0$ $a+c\neq 0$ $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$

Ezen kívül látható, hogy , de . Ezért a permutáció nem szerepel a csoportban. ${\megjelenítési stílus (a+b)^{2}=8}$ $(a+c)^{2}=12$ $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$

Végül megkaphatjuk, hogy egy polinom Galois-csoportja négy permutációból áll:

{\megjelenítési stílus (a,b,c,d)\to (a,b,c,d),}

{\megjelenítési stílus (a,b,c,d)\to (c,d,a,b),}

{\megjelenítési stílus (a,b,c,d)\to (b,a,d,c),}

{\megjelenítési stílus (a,b,c,d)\to (d,c,b,a)}

és négyszeres Klein-csoport , izomorf a -val . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Megfogalmazás térelméleti szempontból

A mezőelmélet általánosabb definíciót ad a Galois-csoportra , mint egy tetszőleges Galois-kiterjesztés automorfizmusainak csoportjára .

Ezen a nyelven meg lehet fogalmazni minden olyan állítást, amely egy polinom gyökeinek "szimmetriájára" vonatkozik. Ugyanis az adott polinom együtthatói tartozzanak a K mezőbe . Tekintsük a K mező L algebrai kiterjesztését egy polinom gyökével. Ekkor a polinom Galois-csoportja az L mező automorfizmusainak azon csoportja, amely a K mező elemeit a helyén hagyja, vagyis a kiterjesztés Galois-csoportja . Például az előző példában a kiterjesztés Galois csoportját vettük figyelembe . $L\feldúlt K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Megoldható csoportok és egyenletek megoldása gyökökben

Egy polinomiális egyenlet megoldásait akkor és csak akkor fejezzük ki gyökben, ha az adott egyenlet Galois-csoportja általában megoldható . $P(x)=0$

Bármelyikre létezik egy olyan fokú egyenlet, amelynek Galois-csoportja izomorf a szimmetrikus csoporttal , vagyis az összes lehetséges permutációból áll . Mivel a csoportok nem oldhatók meg, vannak olyan fokszámú polinomok, amelyek gyökei nem reprezentálhatók gyökökkel , ami az Abel-Ruffini tétel állítása . $n$ $n$ $S_{n}$ $S_{n}$ $n>4$ $n$

Változatok és általánosítások

A Galois-elmélet elvontabb megközelítését Alexander Grothendieck dolgozta ki 1960-ban. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy a Galois-elmélet fő eredményeit bármely olyan kategóriára alkalmazzuk, amely adott tulajdonságokat (például koszorzatok és Descartes-négyzetek létezése ).
- Ez különösen lehetővé teszi a Galois-elmélet eredményeinek átvitelét a burkolatok elméletébe . Ahhoz, hogy ezt az elméletet a mezőbővítések kategóriájára alkalmazni tudjuk, meg kell vizsgálni az mezők tenzorszorzatának tulajdonságait .

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Juskevics A. P. (szerk.) A 19. század matematikája. — M.: Nauka.

1. kötet Matematikai logika. Algebra. Számelmélet. Valószínűségi elmélet. 1978. (elérhetetlen link)

Postnikov M. M. Galois elmélet. 2014. április 2-án kelt archív példány a Wayback Machine -nél - M .: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Sándor; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements etales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Párizs) [Mathematical Documents (Párizs)] 3, Párizs: Société mathématique de France , arXiv: math / 09-706B2N 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Még néhány bizonyíték a könyvből: az egyenletek megoldhatósága és feloldhatósága gyökökben.
Lerner L. Galois elmélet absztrakt algebra nélkül.
Emil Artin . Galois elmélet. / Per. angolról. A. V. Samokhina. - 2. kiadás sablonos. — M.: MTsNMO, 2008. — 66 p. — (Klasszikus monográfiák: matematika). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Linkek

R. Borcherds , „Galois-elmélet” lejátszási lista a YouTube -on

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380