Társtermék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Egy objektumcsalád koszorzata ( kategorikus összege ) a halmazok és topológiai terek diszjunktív uniója, valamint a modulok vagy vektorterek közvetlen összege fogalmának általánosítása a kategóriaelméletben . Egy tárgycsalád társterméke a "legáltalánosabb" objektum, amelybe a család minden tárgyából egy-egy morfizmus van. Az objektumok koprodukciója kettős a szorzatukkal , vagyis a koprodukció definíciója a termék definíciójából nyerhető az összes nyíl megfordításával. Azonban sok kategóriában a tárgyak terméke és társterméke feltűnően különbözik.

Definíció

Legyen egy kategória, és legyen az objektumainak indexelt családja. Ennek a családnak a társterméke egy objektum , a kanonikus beágyazásnak nevezett morfizmusokkal együtt , így egy kategória és morfizmuscsalád bármely objektumához létezik egy egyedi morfizmus , vagyis a következő diagram minden esetben kommutatív : ${\mathcal C}$ $\{X_{j}|j\in J\}$ $x$ $i_{j}\colon \,X_{j}\to X$ $Y$ ${\mathcal C}$ $f_{j}\kettőspont \,X_{j}\-ig$ $f\kettőspont \,X\-től Y-ig$ $f_{j}=f\circ i_{j}$ $j$

Általában egy család társtermékét jelölik $\{X_{j}\}$

X=\coprod _{{j\in J}}X_{j}

vagy

X=\bigoplus _{{j\in J}}X_{j}.

Néha morfizmust jelölnek $f$

f=\coprod _{{j\in J}}f_{j}:\coprod _{{j\in J}}X_{j}\to Y

hogy hangsúlyozzák függőségét . $f_{j}$

Két objektum együttszorzatát általában vagy -vel jelöljük , ekkor a diagram felveszi a formát $X_{1}\coprod X_{2}$ $X_{1}\oplus X_{2}$

Ennek megfelelően jelölje egyidejűleg , vagy . $f$ $f_{1}\coprod f_{2}$ $f_{1}\oplus f_{2}$ $[f_{1},f_{2}]$

A művelet eredményének egyedisége alternatív módon kifejezhető bármelyikre igaz egyenlőségként . [egy] $[-,-]$ $[h\circ i_{1},h\circ i_{2}]=h$ $h$

A társterméknek van egyenértékű meghatározása. Egy család társterméke egy olyan objektum , amely minden objektum esetében bijektív. [2] $\{X_{j}|j\in J\}$ $x$ $Y\C-ben$ ${\text{Hom}}(X,Y)\jobbra nyíl \prod _{{j\in J}}{\text{Hom}}(X_{j},Y)$ $u\mapsto \{u\circ i_{j}\}$

Példák

A halmazok kategóriájában egy halmazcsalád társterméke a diszjunkt egyesülésük , a kanonikus leképezések nyilvánvaló beágyazódások . Ebben az esetben az univerzális tulajdonság a következőképpen fejezhető ki: ahhoz, hogy függvényt definiáljunk egy diszjunkt unión, elegendő (és szükséges) függvényt definiálni annak minden egyes összetevőjén. $i_{j}$
A vektorterek , modulok és Abel-csoportok kategóriáiban a koszorzatot közvetlen összegnek nevezzük .
Az összes csoport kategóriájában a társtermék ingyenes termék .
A topológiai terek kategóriájában a koszorzat az eredeti terek hordozóhalmazainak diszjunkt uniója, a topológia alapját pedig az eredeti alapok uniója (pontosabban a kanonikus beágyazás alatti képek) kapja.

Tulajdonságok

Ha az objektumok összege létezik, akkor az izomorfizmusig egyedi .
Kommutativitás : $a+b\simeq b+a.$
Aszociativitás : $(a+b)+c\simeq a+(b+c)$
Ha van egy kezdeti objektum a kategóriában , akkor $\0$ $a+0\simeq 0+a\simeq a.$
A szimmetrikus monoidális kategória példája az a kategória, amelyben az objektumok bármely halmazának együtttermékei vannak .

Distributivitás

Általánosságban elmondható, hogy létezik egy kanonikus morfizmus, ahol a plusz az objektumok együtttermékét jelöli. Ez a kanonikus vetületek és beágyazások létezéséből, valamint a következő diagram kommutativitásából következik: $X\x Y+X\x Z\-X\x (Y+Z)$

Az univerzális tulajdonság garantálja a kívánt morfizmus meglétét. Egy kategóriát disztributívnak nevezünk, ha ez a morfizmus izomorfizmus . $X\-szer (Y+Z)$

Lásd még

A transzformációs mátrix a lineáris transzformációs mátrix kategorikus analógja.
Határok és kolimitok

Jegyzetek

↑ Lambek J., Scott PJ Bevezetés a magasabb rendű kategorikus logikába. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.
↑ Bucur I., Deleanu A. Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe. - M . : "Mir", 1972.

Irodalom

McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikus számára. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].