Diszjunkt szakszervezet

A diszjunkt unió (más néven diszjunkt unió vagy diszjunkt összeg ) egy módosított halmazegyesítési művelet a halmazelméletben , amely informálisan halmazok diszjunkt "másolatainak" uniójából áll. A és elemekből álló két véges halmaz diszjunkt uniója pontosan tartalmaz elemeket, még akkor is, ha maguk a halmazok metszik egymást. $a$ $b$ $a+b$

Definíció

Legyen egy halmazcsalád , amelyet a -ból származó indexek sorolnak fel . Akkor ennek a családnak a szétválasztott szövetsége a készlet $\{A_i | én \in I\}$ $én$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

A diszjunkt unió elemei rendezett párok . Így van egy index, amely megmutatja, hogy az elem melyik halmazból került be az unióba. A halmazok mindegyike halmazként kanonikusan be van ágyazva a diszjunktív unióba $(x, i)$ $én$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

Halmazokhoz és nem rendelkeznek közös elemekkel, még akkor is, ha . Degenerált esetben, amikor a halmazok egyenlőek valamilyen specifikusval , a diszjunkt unió a halmaz és a halmaz derékszögű szorzata , azaz $\forall i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $A$ $A$ $én$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.

Használat

Néha látni fogja a két halmaz diszjunkt egyesülésének jelölését, vagy a következőt egy halmazcsalád esetében: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Ez a jelölés arra utal, hogy a diszjunktív unió számossága megegyezik a családban lévő halmazok számosságának összegével . Összehasonlításképpen: a derékszögű szorzat hatványa megegyezik a hatványok szorzatával.

A halmazok kategóriájában a diszjunkt unió a közvetlen összeg . A diszjunkt unió kifejezést a páronkénti diszjunkt halmazok családjának egyesülésére is használják. Ebben az esetben a diszjunkt uniót a halmazok szokásos uniójaként jelöljük , amely egybeesik vele. Ez a jelölés gyakran megtalálható a számítástechnikában . Formálisabban, ha halmazok családja, akkor $C$

\bigcup_{A \in C} A

a fenti értelemben diszjunkt unió akkor és csak akkor, ha bármelyik és az alábbi feltétel teljesül: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implikálja A \cap B = \varnothing.

Változatok és általánosítások

Ha egy diszjunkt unió összes halmaza fel van látva topológiával, akkor a topológiai terek (vagyis a topológiával felruházott halmazok) diszjunkt uniója is rendelkezik természetes topológiával - a legerősebb topológiával, amely szerint minden egyes zárvány egy folytonos térkép . Az ezzel a topológiával való diszjunkt uniót topológiai terek diszjunkt uniójának nevezzük .

Lásd még

Irodalom

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Általános topológia. - M . : Felsőiskola, 1979. - S. 132.
Spanier E. Algebrai topológia . - M . : Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. et al. Általános algebra: 2 kötetben T. 1. - M . : Nauka, 1990. - P. 13. - ISBN 5020144266 .