Közvetlen termék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Két halmaz direkt vagy derékszögű szorzata olyan halmaz , amelynek minden eleme az eredeti halmazok lehetséges rendezett elempárja .

A közvetlen szorzat fogalma természetesen általánosítható halmazok szorzatára, amelyek további szerkezettel rendelkeznek ( algebrai , topológiai stb.), mivel a halmazok szorzata gyakran örökli azokat a struktúrákat, amelyek az eredeti halmazokon voltak.

Közvetlen szorzat a halmazelméletben

Két halmaz szorzata

A {at, u, k} halmaz szorzata a szivárvány színkészletével

ban ben	ban ben	ban ben	ban ben	ban ben	ban ben	ban ben	ban ben
és	és	és	és	és	és	és	és
nak nek	nak nek	nak nek	nak nek	nak nek	nak nek	nak nek	nak nek

Legyen két halmaz és adott . Egy halmaz és egy halmaz közvetlen szorzata egy halmaz, amelynek elemei párokba vannak rendezve az összes lehetséges és . Az elemekből kialakított rendezett pár, amelyet általában zárójelben írnak le: . Az elemet a pár első koordinátájának (komponensének), az elemet pedig a pár második koordinátájának (komponensének) nevezzük. $x$ $Y$ $x$ $Y$ $X \x Y$ $(x,y)$ $x\X-ben$ $y\-ban Y$ $a$ $b$ $(a,b)$ $a$ $b$

Két halmaz közvetlen szorzata táblázatként jeleníthető meg, amelynek sorai az első halmaz elemeit, a második oszlopait pedig a második halmaz oszlopai határozzák meg. Ebben az esetben a táblázat minden cellája a derékszögű szorzat eleme lesz.

A "megrendelt" szó azt jelenti, hogy , . Így a és párok akkor és csak akkor egyenlők, ha és . $x\ney$ ${\megjelenítési stílus (x,y)\neq (y,x)}$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$ $a=c$ $b=d$

A „sorrend” fontosságát a számok szokásos jelölésének példájával illusztrálhatjuk: két számjegy, 3 és 5 segítségével négy kétjegyű számot írhatunk: 35, 53, 33 és 55. Annak ellenére, hogy a 35-ös számok és 53 ugyanazokkal a számokkal van írva, ezek a számok eltérőek. Abban az esetben, ha az elemek sorrendje fontos, a matematikában rendezett elemhalmazokról beszélünk.

Rendezett párban előfordulhat, hogy . Tehát a 33 és 55 számok írása rendezett (3; 3) és (5; 5) pároknak tekinthető. $(a,b)$ $a=b$

A halmazok szorzatának a faktoraiba - és - leképezéseit koordinátafüggvényeknek nevezzük . $\varphi\colon X\x Y\-t X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\kettőspont X\szorozza Y\Y-t,\; \psi(x,y)=y$

A halmazok véges családjának szorzatát hasonlóan definiáljuk.

Megjegyzések

Szigorúan véve az asszociativitási azonosság nem áll fenn, de a halmazok közötti természetes egy az egyhez megfelelés (bijekció) megléte miatt ez a különbség gyakran figyelmen kívül hagyható. $A \szer (B \szer C) = (A \szer B) \szer C$ $A \x (B\x C)$ $(A \szer B) \szer C$

Descartes fokozat

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 elem
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ Egy halmaz -edik derékszögű hatványa nemnegatív egész számok esetén a -szeres derékszögű szorzat önmagával [1] : $x$ $n$ $n$ $x$

\begin{matrix} \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ n \end{mátrix}

Általában vagy jelöléssel jelölik . $X^n$ $X^{\times n}$

Ha pozitív, a Descartes-fok a hosszúságú elemek összes rendezett halmazából áll . Tehát a valós tér - három valós szám sorainak halmaza - a valós számok halmazának 3. hatványa $n$ $X^n$ $x$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

Amikor egy Descartes-fok definíció szerint egyetlen elemet tartalmaz - egy üres sor. $n=0$ $X^0,$

Egy készletcsalád közvetlen terméke

Általánosságban elmondható, hogy egy tetszőleges halmazcsalád (nem feltétlenül különböző) esetén ( az indexek halmaza végtelen is lehet ) a közvetlen szorzatot a függvények halmazaként határozzuk meg, amelyek minden elemet a halmaz egy eleméhez rendelnek : $\{X_i\}_{i\in I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $i\in I$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.

A leképezéseket vetületeknek nevezzük , és a következőképpen határozzuk meg: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\colon (a_1,\pontok a_n) \mapsto a_i$

Egy véges halmazcsalád esetén minden feltételes függvény ekvivalens egy hosszúságú sorral , amely a halmazok elemeiből áll , így a sor i- edik helye a halmaz eleme . Ezért véges számú halmaz derékszögű (közvetlen) szorzata a következőképpen írható fel: $\{A_1, \pontok ,A_n\}$ $f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \in A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $én$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}.

A leképezések közvetlen terméke

Legyen leképezés -tól -ig , és leképezés -tól -ig . Közvetlen termékük egy leképezés től -ig : . $f$ $A$ $B$ $g$ $x$ $Y$ $f\szer g$ $A\time X$ $B\-szer Y$ $(f\xg)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

A fentiekhez hasonlóan ez a meghatározás is általánosítható több és végtelen szorzatra.

Hatások a matematikai struktúrákra

Csoportok közvetlen terméke

Két csoport közvetlen (derékszögű) szorzata, és az összes elempár csoportja komponensenkénti szorzás művelettel: . Ezt a csoportot . A szorzás műveletének asszociativitása egy csoportban a szorzott csoportok műveleteinek asszociativitásából következik. A és faktorok izomorfak szorzatuk két normál alcsoportjával , ill . Ezen alcsoportok metszéspontja egy elemből áll , amely a termékcsoport egysége. A csoportok szorzatának koordinátafüggvényei homomorfizmusok . $(G*)$ $(H,\circ)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\time H$ $G\time H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\közép g\in G\}$ $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Ez a meghatározás tetszőleges számú szorzott csoportra terjed ki. Véges szám esetén a közvetlen szorzat izomorf a közvetlen összeggel. A különbség végtelen számú tényezőből adódik.

Általában , hol és . (A jobb oldali művelet a csoportos művelet ). A termékcsoport egysége az összes szorzott csoport egységeiből álló sorozat lesz: . Például megszámlálható számú csoporthoz: , ahol a jobb oldalon az összes végtelen bináris sorozat halmaza található. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $GI}$ $(1_i),\; i\in I$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operátornév{xor})$

Közvetlen összegnek nevezzük azon részcsoportokat, amelyeknek a támasza (vagyis a halmaz ) véges . Például ugyanannak a halmaznak a közvetlen összege tartalmazza az összes véges számú bináris sorozatot, és ezek természetes számok bináris reprezentációjaként kezelhetők . $f$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operátornév{xor})$

Egy indexelt csoportrendszer derékszögű szorzata a közvetlen terméke a Grp kategóriában.

Egy indexelt csoportrendszer közvetlen összege annak együttterméke a Grp kategóriában.

Más algebrai struktúrák közvetlen szorzata

A csoportok szorzatához hasonlóan definiálhatunk gyűrűk , algebrák , modulok és lineáris terek szorzatait, és a közvetlen szorzat definíciójában (lásd fent) nullára kell cserélni . Két (vagy véges számú) objektum szorzatának definíciója megegyezik a közvetlen összegével . Általában azonban a közvetlen összeg eltér a közvetlen szorzattól: például egy megszámlálható példányhalmaz közvetlen szorzata a valós számok összes sorozatának tere , míg a közvetlen összege azoknak a sorozatoknak a tere, amelyeknek csak egy véges számú nem nulla tag (az úgynevezett véges sorozatok ). $1_i$ $\mathbb {R}$

A vektorterek közvetlen szorzata

Két vektortér derékszögű szorzata egy közös mező felett rendezett vektorpárok halmaza , azaz a és -ből származó vektorhalmazok halmazelméleti derékszögű szorzata, koordináta szerinti linearitás mellett : , . $U\times V$ $U$ $V$ $F$ ${\displaystyle \left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\))$ $U$ $V$ ${\megjelenítési stílus (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Ez a definíció vonatkozik bármely indexelt lineáris (vektor) térrendszerre: a vektorterek indexelt rendszerének egy közös mező feletti derékszögű szorzata a faktorvektor-halmazok halmazelméleti derékszögű szorzata, amelyen koordináta szerinti linearitás van megadva, azaz összegzéskor minden vetület összegződik, számmal szorozva minden vetületet ezzel a számmal: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

A lineáris terek indexelt rendszerének derékszögű szorzata a közvetlen szorzata a kategóriában , ahol van a rendszer tárgymezeje. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

A vektorterek direkt összege a közvetlen szorzatuk olyan részhalmaza, amelynek elemei csak véges számú nullától eltérő vetülettel rendelkeznek , ahol az indexelt rendszer indexhalmaza . Véges számú tag esetén a közvetlen összeg nem különbözik a közvetlen szorzattól. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ jobbra\}\jobbra\vert <\aleph _{0}\jobbra\}$ $\operatorname {dom} A$ $A$

Egy indexelt lineáris terek rendszerének közvetlen összege a koszorzata a kategóriában , ahol van a rendszer tárgymezeje. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Topológiai terek közvetlen szorzata

Legyen és két topológiai tér . A derékszögű szorzat topológiáját halmazelméleti szorzatukon, struktúra nélküli halmazokként, az összes lehetséges szorzatból álló bázis adja meg , ahol egy nyitott részhalmaz és egy nyílt részhalmaza . $x$ $Y$ $X\-szer Y$ $U\time V$ $U$ $x$ $V$ $Y$

A definíció könnyen általánosítható több térből álló szorzat esetére.

Tényezők végtelen halmazának szorzatára a definíció bonyolultabbá válik: legyen topológiai terek indexelt rendszere, - elemek , mint halmazok szerkezet nélküli szorzata . Határozzuk meg a fölé emelt hengert mindazon pontok halmazaként , amelyekből a -adik vetületek vannak , azaz ahol és az indexelt rendszer indexhalmaza . A szorzat topológiája egy hengerekből álló előbázison lesz megadva, amely az összes topológia összes nyitott halmazára épül fel a következő halmazból : , ahol a tér összes nyitott halmazának (topológiájának) gyűjteménye van , azaz egy bázis adja meg, amely a következőkből áll. véges számú nyitott henger összes lehetséges metszéspontja . Ezt a topológiát a projektorok „ellentétesen” indukálják – ez a halmazelméleti derékszögű szorzat minimális topológiája, amelyhez minden projektor folytonos (ez a topológia hasonló a leképezési terek kompakt-nyitott topológiájához , ha figyelembe vesszük az indexet diszkrét topológiájuk van). $x$ $B=\prod {\overline {X}}$ $x$ $U\subseteq X_{i}$ $B$ $én$ $U$ $\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatorname {dom} X$ $\operatorname {dom} X$ $x$ $x$ $\left\{\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatorname {dom} X\land U\in \operatorname {T} \left(X_{i }\jó jó\}$ $\operátornév {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $én$

A topológiai terek indexelt rendszerének derékszögű szorzata a közvetlen szorzata a kategóriában . $\operatorname {Top}$

A topológiák közvetlen összege a terek, mint ponthalmazok strukturálatlan közvetlen összegére épül. Nyitott benne minden olyan halmaz, amelynek metszéspontja az összes kifejezéssel nyitott. Ezt a topológiát "kovariánsan" indukálják a koprojektorok – ez a halmazelméleti közvetlen összeg maximális topológiája, amely alatt az összes koprojektor (azaz a kifejezések összegbe ágyazása) folytonos.

A topológiai terek indexelt rendszerének közvetlen összege a koszorzata a kategóriában . $\operatorname {Top}$

Tyihonov tétele tetszőleges számú kompakt tér szorzatának tömörségét állítja ; végtelen szorzatok esetében azonban nem bizonyítható a választás axiómája (vagy azzal egyenértékű halmazelméleti állítások) nélkül.

Szintén Alekszandrov tétele azt mutatja, hogy bármilyen topológiai tér beágyazható az összefüggő kettőspontok (végtelen) szorzatába , mindaddig, amíg a Kolmogorov-axióma teljesül .

Grafikonok közvetlen szorzata

	—	
	—	
		
	—	

Két gráf közvetlen szorzatának csúcsainak halmaza és a faktorgráfok csúcsainak szorzataként definiálható. Az élek a következő csúcspárokat kötik össze: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , ahol és a gráf éllel összekötött csúcsai , és a gráf tetszőleges csúcsa ; $g$ $g'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , ahol a gráf tetszőleges csúcsa , és és a gráf éllel összekötött csúcsai . $g$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Más szóval, a gráfok szorzatának éleinek halmaza két szorzat uniója : az első élei a második csúcsaihoz, és az első csúcsai a második éleihez.

Változatok és általánosítások

A közvetlen termék gondolatát továbbfejlesztették a kategóriaelméletben , ahol ez szolgált alapul a tárgyak terméke koncepciójához . Informálisan két objektum szorzata, és ez a legáltalánosabb objektum ebben a kategóriában, amelyhez vannak vetületek a és -ra . Számos kategóriában (halmazok, csoportok, gráfok, ...) az objektumok szorzata a közvetlen szorzata. Fontos, hogy a legtöbb esetben nem annyira a közvetlen termék konkrét meghatározása a fontos, hanem az egyetemesség fent említett tulajdonsága. A különféle definíciók ezután izomorf objektumokat adnak. $A$ $B$ $A$ $B$