Semidirect termék

A félig közvetlen termék  egy csoportelméleti konstrukció, amely lehetővé teszi új csoport felépítését két csoportból és , valamint a csoportnak a csoportra gyakorolt ​​hatását automorfizmusok segítségével.

A csoportok félig közvetlen szorzatát általában jelöli .

Építkezés

Legyen adott egy csoportnak a csoport terére gyakorolt ​​hatása a csoportszerkezetének megőrzésével. Ez azt jelenti, hogy adott egy csoport homomorfizmusa a csoport automorfizmusainak csoportjába . A homomorfizmus alóli elemnek megfelelő csoport automorfizmusát jelöli . A csoportok félig közvetlen szorzatának elemeinek halmazára és egy homomorfizmus felett  direkt szorzatot veszünk fel . A on bináris műveletet a következő szabály határozza meg:

Tulajdonságok

1. A és csoportok természetesen be vannak ágyazva a -ba , és  a csoport normál alcsoportja .
2. Minden elem egyedileg bontható szorzatra , ahol a és  a csoportok elemei , ill. (Ez a tulajdonság igazolja a csoport nevét a csoportok és a csoportok félig közvetlen szorzataként .)
3. A csoport meghatározott akciója a csoporton egybeesik a társakra (a csoportban ) tett akcióval.

Minden 1–3 tulajdonságú csoport izomorf egy csoporttal (a csoportok félig közvetlen szorzatának egyetemességi tulajdonsága).

• A művelet asszociativitását közvetlenül ellenőrizzük. Az arányokat használják

• A G csoport egysége az elem , ahol és az N és H csoport egységei . (Az egyenlőséget használják .)
  
• Az elem inverze egyenlő a .
  • Annak bizonyítására, hogy ez az elem inverz, az egyenlőséget használjuk .
• A leképezések és homomorf módon beágyazzák az N és H csoportokat a G csoportba . Képeiknek egyetlen közös eleme van - a G csoport azonossága .
• A térkép a G csoport epimorfizmusa a H csoportra N kernellel . Ez azt jelenti, hogy az N csoport normális G -ben .
• Az egyenlőség a G csoport egy tetszőleges elemének felbontását adja az N és H csoport n és h elemeinek szorzatára . Ebből az egyenlőségből következik a bővítés egyedisége is.
• Az egyenlőség azt mutatja, hogy a H csoportnak a homomorfizmussal adott N -re gyakorolt ​​hatása egybeesik a H -csoport konjugációk által N -re gyakorolt ​​hatásával.
• A félig közvetlen termék univerzális tulajdonságának bizonyításához a képletet kell használni . Ebből az következik, hogy a G csoportba tartozó , egyértékű NH-bontású szorzatot (feltételezve, hogy az N csoport normális ) teljes mértékben meghatározzák az N és H alcsoportokon belüli szorzás szabályai, valamint az N -ből származó elemek konjugációjának szabályai. a H -ból származó elemekkel .
  

Példa

A modulo 4 maradékcsoport ( ) négy különböző módon hat (amelyet a megfelelő gyűrű additív csoportjának tekintünk):

Ennek megfelelően a készleten bemutathatja a csoport 4 struktúráját - egy félig közvetlen terméket:

1. , hol ;
2. , hol ;
3. ;
4. ;

Megmutatható, hogy az utolsó két csoport izomorf, míg a többi nem, és az is, hogy ezek a példák felsorolják az összes olyan 20-as rendű csoportot, amely 4 -es rendű elemet tartalmaz (Sylow tételeit használva ).

Hasonlóképpen, a csoportok félig közvetlen szorzatát általában véges csoportok osztályozására használják.

Irodalom

• Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban.  — ISBN 5-88688-060-7 .