Klein négyes csoport

A Klein-négyes csoport egy negyedrendű, nem ciklikus véges kommutatív csoport , amely fontos szerepet játszik az általános algebrában, a kombinatorikában és a geometriában. Általában vagy jelöli (ebből . Vierergruppe - quad csoport). Felix Klein írta le és tanulmányozta először 1884 -ben . $V$ $V_{4}$

A Klein-négyes csoport ciklusgráfja
A Klein-négyes csoport Cayley-gráfja

Az elemek közötti bináris műveletet (az egység egy csoport semleges eleme ) a következő Cayley-tábla [1] adja meg : ${\megjelenítési stílus \{1,a,b,ab\}}$

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array))

Az egyes nem egy elemek sorrendje 2, tehát a csoport nem ciklikus . Másodrendű ciklikus csoportok közvetlen szorzata ; sorrendben a legkisebb nem ciklikus csoport. $C_{2}\times C_{2}$

Ez a legegyszerűbb diédercsoport [2] . Bármely negyedrendű csoport izomorf egy ciklusos csoporttal vagy egy négyszeres Klein-csoporttal. A szimmetrikus csoportnak önmagán és az egységalcsoporton kívül csak két normál alcsoportja van - az alternáló csoport és a Klein négyes csoport , amelyek permutációkból állnak [2] . $D_{2}$ $S_{4}$ $A_{4}$ $V_{4}$ ${\megjelenítési stílus (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$

A matematika számos szakaszában előfordul, példák a vele izomorf csoportokra :

set bitenkénti exkluzív VAGY művelettel ; ${\megjelenítési stílus \{0,1,2,3\))$
redukált maradékanyag-rendszer modulo 8, amely az 1., 3., 5., 7. osztályokból és a 12. modulo 12. osztályokból áll, és az 1., 5., 7., 11. osztályokból áll;
egy rombusz szimmetriacsoportja háromdimenziós térben, amely 4 transzformációból áll: azonosság, ráforgatás és két átlóról való visszaverődés [3] . $180^{\circ }$
a tetraéder mindhárom élközéppont körüli szögben bezárt forgáscsoportja (azonos forgással együtt) [4] . $\pi$

Jegyzetek

↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 1. „A csoport fogalma”, 2. tétel „Bevezető példák”, 4. tétel „Negyedik rendű Klein-csoport”, p. 23.
↑ 1 2 V. F. Zaicev. 2. o., Diszkrét transzformációs csoportok // Bevezetés a modern csoportelemzésbe. - Szentpétervár. , 1996. - S. 10.
↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 5 "A legegyszerűbb önegybeesési csoportok", 3. o. "Szabályos piramis és kettős piramis kanyarcsoportjai", 3. oldal "A degeneráció esete: egy szakasz és egy rombusz forgáscsoportjai", 3. o. 71.
↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 5. „Egyszerű önegybeesési csoportok”, 3. tétel „Szabályos piramis és kettős piramis fordulatcsoportjai”, 4. tétel „Szabályos tetraéder forgási csoport”, 3. o. 75.

Irodalom

P. S. Alekszandrov . Bevezetés a csoportelméletbe. - M. : Nauka, 1980. - 144 p. Val vel. — (Könyvtári Kvant, 7. szám).
F. Klein . Előadások az ikozaéderről és az ötödik fokú egyenletek megoldásáról. — M .: Nauka , 1989. — 336 p.