Cayley asztal

A Cayley  -tábla egy olyan táblázat, amely véges algebrai rendszerek szerkezetét írja le úgy, hogy egy művelet eredményeit egy szorzótáblára emlékeztető táblázatba rendezi. Nevét Arthur Cayley angol matematikusról kapta . A tabló fontos a diszkrét matematikában , különösen a csoportelméletben . A táblázat segítségével megtudhatja a csoport egyes tulajdonságait, például, hogy a csoport Abel -e , megkeresheti a csoport középpontját és a csoport elemeinek inverz elemeit .

Magasabb algebrában a Cayley - táblázatok mezők , gyűrűk és más algebrai struktúrák bináris műveleteinek meghatározására is használhatók .

Egy egyszerű példa egy Cayley-táblázatra az {1, −1} csoporthoz normál szorzással :

× egy −1
egy egy −1
−1 −1 egy

Történelem

A Cayley-táblázatok először Cayley „A csoportok elméletéről, a θ n = 1 szimbolikus egyenlettől függően” című tanulmányában jelentek meg 1854-ben. Ebben a cikkben ezek csak illusztrációs célokat szolgáló táblázatok voltak. Később Cayley asztaloknak nevezték el őket alkotójuk tiszteletére.  

Szerkezet

Mivel sok Cayley-tábla nem Abel -féle csoportokat ír le, az ab szorzat nem feltétlenül egyenlő a ba szorzattal a csoport összes a és b esetén. A félreértések elkerülése érdekében feltételezzük, hogy a soroknak megfelelő szorzó az első, az oszlopoknak megfelelő szorzó pedig a második. Például az a sor és a b oszlop metszéspontja ab , nem  pedig ba , amint az a következő példában látható:

* a b c
a a 2 ab ac
b ba b 2 időszámításunk előtt
c kb cb c 2

Cayley munkájában egy semleges elemet helyezett el az első sorban és az első oszlopban, ami lehetővé tette számára, hogy ne különítsen el külön sorokat és oszlopokat, amelyek az elemeket jelzik, amint az a fenti példában látható. Például ugyanazt a táblázatot a következőképpen mutatták be:

a b c
b c a
c a b

A Z 3 ciklikus csoport ezen példájában az a elem a semleges elem, és a táblázat bal felső sarkában jelenik meg. Könnyen belátható például, hogy b 2 = c és cb = a . Ezzel ellentétben a legtöbb modern szöveg, beleértve ezt a cikket is, tartalmaz egy fejlécet és egy oszlopot a nagyobb érthetőség érdekében.

Tulajdonságok és felhasználás

Kommutativitás

A Cayley tábla megmondja, hogy egy csoport Abel -e . Mivel a csoport művelete egy Abel-csoporton kommutatív , egy csoport akkor és csak akkor Abeli-féle, ha a Cayley-táblázata szimmetrikus (az átlóhoz képest). A fenti 3. rendű ciklikus csoport, valamint az {1, −1} közönséges szorzás esetén egyaránt példája az Abeli-csoportoknak, és Cayley-tábláik szimmetriája is ezt bizonyítja. De a legkisebb hatodrendű nem-abeli diédercsoportnak nincs szimmetriája a Cayley-táblázatban.

Aszociativitás

Mivel az asszociativitás definíció szerint jelen van a csoportokban, gyakran feltételezik a Cayley-táblázatokban is. A Cayley táblák azonban használhatók kvázicsoportokban végzett műveletek leírására , ahol nem szükséges az asszociativitás (sőt, a Cayley táblák használhatók bármilyen véges magmában lévő művelet leírására ). Sajnos a kommutativitással ellentétben általában lehetetlen eldönteni, hogy egy művelet asszociatív-e vagy sem, ha egyszerűen ránézünk egy táblázatra. Ennek az az oka, hogy az asszociativitás az egyenlőségben a három elemtől függ, míg a Cayley-tábla két elem szorzatát mutatja. A Light asszociativitási tesztje azonban kevesebb erőfeszítéssel tudja meghatározni az asszociativitást, mint a nyers erő.

Permutációk

Mivel az rövidítés a csoportokra vonatkozik (sőt, még a kvázicsoportokra is), a Cayley-tábla egyetlen sora vagy oszlopa sem tartalmazhatja kétszer ugyanazt az elemet. Így a táblázat minden sora és oszlopa a csoport elemeinek permutációja.

Ha látni szeretné, hogy a sorok és oszlopok miért nem tartalmazhatják ugyanazokat az elemeket, legyen a , x és y  egy csoport elemei, az x és y pedig különbözőek. Most az a elemnek megfelelő sor és az x elemnek megfelelő oszlop fogja tartalmazni az ax szorzatot . Hasonlóképpen, az y -nak megfelelő oszlop az ay - t fogja tartalmazni . Legyen két szorzat egyenlő, vagyis az a karakterlánc kétszer tartalmazza az elemet. A redukciós szabály alapján ax = ay -ból azt a következtetést vonhatjuk le, hogy x = y , ami ellentmond az x és y választásának . Pontosan ugyanez az érvelés igaz az oszlopokra is. Tekintettel a csoport Dirichlet-elv szerinti végességére, a csoport minden eleme pontosan egyszer kerül bemutatásra minden sorban és minden oszlopban.

Ez azt jelenti, hogy Cayley tablója a csoport számára egy példa a latin négyzetre .

Cayley asztalok építése csoportok számára

A csoportstruktúra használatával gyakran lehetséges az üres mezőket tartalmazó Cayley táblák "kitöltése" anélkül, hogy bármit is tudnának a csoport működéséről. Például, mivel minden sornak és oszlopnak tartalmaznia kell egy csoport összes elemét, a sorban (vagy oszlopban) egy hiányzó elemet ki lehet tölteni anélkül, hogy bármit is tudnának a csoportról. Ez azt mutatja, hogy ez a tulajdonság és a csoportok néhány más tulajdonsága is lehetővé teszi Cayley táblák készítését még akkor is, ha keveset tudunk a csoportról.

Egy véges csoport "semleges elemek csontváza"

Mivel bármely csoportban, még egy Abel-féle csoportban sem, bármely elem inverzével ingázik, a Cayley-tablóban a semleges elemek eloszlása ​​szimmetrikus az átlóhoz képest. Az átlón fekvő semleges elemek az inverzeikkel egybeeső elemeknek felelnek meg.

Mivel a Cayley táblában a sorok és oszlopok sorrendje tetszőleges, célszerű ezeket a következő sorrendbe rendezni: kezdjük a csoport semleges elemével, amely mindig egybeesik annak inverzével, majd felsoroljuk az összes egybeeső elemet. inverzeikkel, majd írjunk ki elempárokat (neki elem és inverz).

Nos, egy bizonyos rendű véges csoporthoz könnyen meghatározható a "semleges elemek váza", így nevezték el, mert a semleges elemek vagy a főátlón vagy annak közelében fekszenek.

Viszonylag könnyű bebizonyítani, hogy a különböző vázzal rendelkező csoportok nem lehetnek izomorfok , de ennek ellenkezője nem igaz (például a C 8 ciklusos csoport és a Q kvaterniócsoport nem izomorf, bár ugyanaz a vázuk).

Legyen hat csoportelem e , a , b , c , d és f . Legyen e  semleges elem. Mivel a semleges elem megegyezik az inverzével, az inverz pedig egyedi, legalább egy másik elemnek kell lennie, amely megegyezik az inverzével. Így a következő lehetséges csontvázakat kapjuk:

Esetünkben nincs az első típusú 6-os rendű csoport. Ráadásul az a tény, hogy egy csontváz lehetséges, egyáltalán nem jelenti azt, hogy létezik olyan csoport, amelynek csontváza egybeesik vele.

Figyelemre méltó az a tény (és könnyen bebizonyítható), hogy minden olyan csoport, amelyben bármely elem egybeesik az inverzével, Abel-féle.

A táblázat kitöltése a semleges elemek váza szerint

Ha a semleges elemek váza adott, akkor elkezdhetjük a Cayley táblázat kitöltését. Például válasszuk ki a 6. rendű csoport második vázát a fent leírtak közül:

e a b c d f
e e
a e
b e
c e
d e
f e

Nyilvánvalóan az e sor és az e oszlop azonnal kitölthető. Ha ez megtörtént, szükség lehet (és esetünkben szükséges is) feltételezni, ami utólag ellentmondáshoz vezethet, ami azt jelenti, hogy a feltevés hibás. Feltételezzük, hogy ab = c . Akkor:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c
b b e
c c e
d d e
f f e

A bal oldali ab = c-t megszorozva a -val , akkor b = ac kapjuk . Jobb oldali szorzás c -vel bc = a -t kap . A jobb oldali ab = c-t b - vel megszorozva a = cb -t kapjuk . Ha balról bc = a -t b -vel megszorozzuk, akkor c = ba , jobbról a- val pedig ca = b -t kapunk . A táblázatban ezeknek a termékeknek a kitöltése után azt tapasztaljuk, hogy a hirdetés és az af üresen marad az a sorban . Mivel minden elemnek pontosan egyszer kell megjelennie egy sorban, azt kapjuk, hogy a hirdetésnek vagy d -nek vagy f -nek kell lennie . Ez az elem azonban nem egyenlő d -vel , mert különben a egyenlő lenne e -vel , miközben tudjuk, hogy a két elem különbözik. Így ad = f és af = d .

Most, mivel d inverze f , a jobb oldali ad = f -et megszorozva f -vel, a = f 2 -t kapjuk . Bal oldali szorzás d - vel da = f . A jobb oldalt megszorozva a -val d = fa .

Mindezen munkák bevitele után a Cayley táblázat a következő formában jelenik meg:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c e a
c c b a e
d d f e
f f d e a

Mivel a csoport minden elemének pontosan egyszer kell megjelennie minden sorban, könnyen belátható, hogy a b sor két üres táblázatcelláját vagy d -nek vagy f - nek kell elfoglalnia . A d és f azonban már jelen van a megfelelő oszlopokban . Így bármit is írunk be ezekbe a mezőkbe, ismétlést fogunk kapni az oszlopokban, ami azt mutatja, hogy az ab = c kezdeti tippünk téves volt. Most azonban már tudjuk, hogy ab ≠ c .

Két lehetőség maradt - vagy ab = d vagy ab = f . Mivel d és f kölcsönösen inverzek, és a betűk kiválasztása tetszőleges, az eredményt az izomorfizmusig azonosnak kell tekintenünk. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy ab = d . Ha most ellentmondást kapunk, el kell ismernünk, hogy ennek a csontváznak nincs megfelelő csoportja.

Kapunk egy új Cayley asztalt:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d
b b e
c c e
d d e
f f e

A bal oldali ab = d -t megszorozva a -val , b = ad -ot kapunk . Jobb oldali szorzás f - vel bf = a , bal oldali szorzás b - vel pedig f = ba . A jobb oldalt a -val megszorozva fa = b , a bal oldalon pedig d -vel a = db -ot kapunk . Az eredményeket a Cayley táblázatba beírva kapjuk (az új elemek pirossal kiemelve):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d b
b b f e a
c c e
d d a e
f f b e

Az a karakterláncból hiányzik c és f , de mivel af nem egyenlő f -vel (különben a egyenlő lenne e -vel ), arra a következtetésre juthatunk, hogy af = c . A bal oldalt a-val megszorozva f = ac -t kapunk , és ezt a jobb oldalon megszorozhatjuk c -vel , ami fc = a-t kap . Ez utóbbit bal oldali d -vel megszorozva c = da -t kapunk , amit jobb oldalon a-val megszorozva ca = d -t kapunk . Ugyanígy a jobb oldali af = c -t megszorozva d -vel, a = cd -t kapjuk . Frissítse a táblázatot (a legutóbbi változtatások kékkel vannak kiemelve):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e a
c c d e a
d d c a e
f f b a e

Mivel a b karakterlánc nem tartalmaz c -t és d -t , és bc nem lehet egyenlő c -vel, levonjuk azt a következtetést, hogy bc = d , tehát bd szorzatának egyenlőnek kell lennie c -vel . A jobb oldali f -vel megszorozva b = cf -et kapunk , amelyet a bal oldali c - vel megszorozva cb = f -re alakíthatunk . Hasonlóan érvelve azt a következtetést vonhatjuk le, hogy c = fb és dc = b . Módosítjuk a táblázatot (a bevezetett elemek zölddel vannak kiemelve):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b e
f f b c a e

Csak f hiányzik a d sorból , így d 2 = f . Ugyanígy megkapjuk, hogy f 2 = d . A teljes táblázatot kitöltöttük, és nem jöttünk ellentmondásba. Így a csontváznak megfelelő 6. rendű csoportot találtunk. A táblázat pillantása azt mutatja, hogy nem Abel-féle. Valójában ez a legkisebb nem Abel-csoport, a D 3 diédercsoport :

* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b f e
f f b c a e d

Permutációs mátrix generálása

A Cayley tábla szabványos alakjában a sorok és oszlopok sorrendje megegyezik. A rendezés másik módja, hogy az oszlopokat úgy rendezzük el, hogy az n -edik oszlop az n - edik sor fordított elemeinek feleljen meg . A D 3 -ra vonatkozó példánkban csak az utolsó két oszlopot kell felcserélnünk, mivel csak f és d nem inverz önmagukkal, hanem inverzek egymással.

e a b c f=d −1 d=f −1
e e a b c f d
a a e d f c b
b b f e d a c
c c d f e b a
d d c a b e f
f f b c a d e

Példánkban hat permutációs mátrix hozható létre (minden elem 1 vagy 0, minden sorban és minden oszlopban egy 1). A 6x6-os mátrix egy egyest tartalmaz, ha az oszlopcímke megegyezik a sor címkéjével, és nullákat minden más mezőben, a címke Kronecker szimbólumát . (Megjegyezzük, hogy az e sorhoz megkapjuk az identitásmátrixot.) Például a esetén megkapjuk a permutációs mátrixot.

e a b c f d
e 0 egy 0 0 0 0
a egy 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 egy 0
c 0 0 0 0 0 egy
d 0 0 egy 0 0 0
f 0 0 0 egy 0 0

Ez azt mutatja, hogy bármely n-rendű csoport az n ! -rendű S n permutációs csoport alcsoportja .

Általánosítások

A fent leírt tulajdonságok bizonyos csoportokra vonatkozó axiómáktól függenek. Természetes, hogy a Cayley-táblázatot kiterjesztjük néhány más algebrai struktúrára, például félcsoportokra , kvázicsoportokra és magmákra , de a fenti tulajdonságok közül néhány nem érvényes rájuk.

Lásd még

Linkek