Magma (algebra)

A magma ( groupoid ) az általános algebrában egy M halmazból álló algebra , egy M × M → M bináris művelettel . Azon túl, hogy a készlet a rajta megadott művelethez képest zártnak kell lennie , a művelettel és a készlettel szemben egyéb követelmény nincs.

A " magma " kifejezést Bourbaki javasolta . A " groupoid " kifejezés régebbi, Oistin Ore alkotta , de a kifejezés egy másik általános algebrai struktúrára, a kategóriaelméleti groupoidra is utal , és ebben az értelemben gyakrabban használják az újabb irodalomban.

Általánosságban elmondható, hogy a magmákat általában nem tanulmányozzák; ehelyett különböző típusokat tanulmányoznak, amelyek a kiegészítő axiómákban különböznek egymástól. Az általánosan vizsgált magmatípusok a következők:

a kvázicsoport egy nem üres magma, amelyben a hasadás mindig lehetséges ;
a loop egy kvázicsoport semleges elemmel ;
félcsoport - magma asszociatív művelettel ;
a monoid semleges elemű félcsoport ;
a csoport egy monoid inverz elemmel , vagy ugyanaz, mint egy asszociatív hurok (ami mindig kvázicsoport);
az Abel-csoport egy kommutatív művelettel rendelkező csoport .

A magma morfizmus egy olyan függvény , amely a magmát olyan magmához kapcsolja, amely megőrzi a bináris műveletet: $f\colon M\to N$ $M$ $N$

f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)

ahol és jelöli a on és on bináris műveleteket . $*_{M}$ $*_{N}$ $M$ $N$

Kombinatorika és zárójelek

Általános, nem asszociatív esetre a magma-művelet sokszor megismételhető. A zárójelek a sorrend jelzésére szolgálnak. A kapott karakterlánc magma elemeket jelölő karakterekből és kiegyensúlyozott zárójelekből áll. A kiegyensúlyozott zárójelek összes lehetséges sztringjét Dyck nyelvnek nevezzük . A magma operátor n alkalmazásainak teljes számát a katalán szám adja meg . Például , ami egyenértékű azzal az állítással, hogy és ez az egyetlen lehetséges módja a bináris magma-művelet kétszeri alkalmazásának sorrendjének meghatározására. $C_{n}$ $C_{2}=2$ $(ABC$ $ABC)$

A jelölés egyszerűsítése és a használt zárójelek számának csökkentése érdekében szimbólumot használunk. Ha magasabb prioritást szeretne kijelölni egy művelet végrehajtásához, használja a mellette lévő bejegyzést. Például, ha a magma művelet „·”, akkor xy · z az ( x · y ) · z rövidítése . További rövidítések szóközök használatával lehetségesek. Például xy z wv írása ( ( x y ) z ) ( w v ) helyett . _ Természetesen bonyolultabb kifejezéseknél nehéz elkerülni a zárójelek használatát. A zárójelek használatának elkerülésének egyik módja az előtag jelölése , amely azonban nem intuitív.

Irodalom

Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. - M . : Felsőiskola, 1979. - 559 p.