Quaternion csoport

A csoportelméletben a kvaterniócsoport egy nem Abeli nyolcadrendű csoport , amely nyolc kvaternióból álló halmazzal izomorf a szorzási művelettel. Gyakran Q vagy Q 8 betűvel jelölik , és a csoport feladata határozza meg

Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk= -1\rangle ,

ahol 1 az identitáselem, és a −1 elem ingázik a csoport többi elemével.

Cayley grófja

A Q 8 csoport ugyanolyan sorrendű, mint a D 4 diédercsoport , de más a szerkezete, amint az a Cayley-gráfokon és ciklusdiagramokon is látható:

Cayley grófja		ciklus grafikonja
Q 8 A piros nyilak a jobb oldali szorzást i -vel, a zöld nyilak pedig a j -vel való jobbra szorzást jelzik .	D 4 Diéder csoport	Q8_ _	Dih 4

A D 4 diédercsoport a hasított kvaterniókból ugyanúgy keletkezik, mint a Q 8 kvaterniókból.

Cayley asztala

Cayley táblázat (szorzótábla) Q [1]-hez :

Q×Q	egy	−1	én	− i	j	− j	k	− k
egy	egy	−1	én	− i	j	− j	k	− k
−1	−1	egy	− i	én	− j	j	− k	k
én	én	− i	−1	egy	k	− k	− j	j
− i	− i	én	egy	−1	− k	k	j	− j
j	j	− j	− k	k	−1	egy	én	− i
− j	− j	j	k	− k	egy	−1	− i	én
k	k	− k	j	− j	− i	én	−1	egy
− k	− k	k	− j	j	én	− i	egy	−1

Hat képzeletbeli egység {± i , ± j , ± k } szorzata az egységvektorok vektorszorzataként működik a háromdimenziós euklideszi térben .

{\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat))

Tulajdonságok

A kvaterniócsoportnak az a szokatlan tulajdonsága , hogy hamiltoni - a Q csoport bármely alcsoportja normál alcsoport , és maga a csoport nem Abel-féle. [2] Bármely Hamilton-csoport tartalmazza a Q másolatát . [3]

A fenti bázisvektor-szorzótábla felhasználásával és az eloszlási szorzás műveletét folytatva létrehozhatunk egy négydimenziós vektorteret {1, i , j , k } bázissal, és asszociatív algebrává alakíthatjuk . A kapott algebra a kvaterniók teste lesz . Vegye figyelembe, hogy ez nem azonos a Q csoportalgebrával (amelynek dimenziója 8). Ezzel szemben a kvaterniókból indulhatunk ki, és egy kvaterniócsoportot nyolc elemből álló multiplikatív részcsoportként definiálhatunk {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Az azonos bázisú összetett négydimenziós vektorteret bikvaterniós algebrának nevezzük .

Jegyezzük meg, hogy i , j és k sorrendje 4 Q -ban , és bármelyik kettő generálja a teljes csoportot. Egy másik Q csoportos feladat [4] , amely ezt mutatja:

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

Felveheti például a következőt: i = x , j = y és k = xy .

A Q csoport középpontja és kommutátora a {±1} alcsoport. A Q /{±1} faktorcsoport izomorf a Klein-négy V csoporttal . A Q csoport belső automorfizmusainak csoportja izomorf a Q hányadoscsoporttal a centrumhoz képest, ezért izomorf a Klein-négyes csoporttal is. A Q csoport teljes automorfizmuscsoportja izomorf S 4 -el , a négybetűs szimmetrikus csoporttal . A Q külső automorfizmuscsoportja S 4 / V , amely izomorf S 3 -al .

Mátrix ábrázolás

A kvaterniócsoport a GL 2 ( C ) teljes lineáris csoport alcsoportjaként ábrázolható . Teljesítmény

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}_{{2}}({\mathbf {C}})

mátrixok határozzák meg [5]

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}

Mivel a fenti mátrixok mindegyike rendelkezik egységdeterminánsokkal, a Q csoport reprezentációját határozzák meg az SL 2 ( C ) speciális lineáris csoportban .

A Q csoportnak egy fontos művelete is van egy kétdimenziós vektortér nyolc nem nulla elemén egy véges F 3 mező felett . Teljesítmény

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}(2,3)

mátrixok határozzák meg

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

ahol {−1,0,1} az F 3 mező három eleme . Mivel az F 3 mező feletti összes mátrix determinánsa eggyel egyenlő, ez a Q csoport reprezentációja az SL(2, 3) speciális lineáris csoportban. Ezenkívül az SL(2, 3) csoport 24-es sorrendű, Q pedig az SL(2, 3) csoport normál alcsoportja a 3. indexből .

Galois csoport

Ahogy Richard Dean 1981-ben kimutatta, a kvaterniócsoport megadható Galois-csoportként Gal( T / Q ), ahol Q a racionális számmező , T pedig a polinom dekompozíciós mezője .

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

több mint Q. _

A bizonyítás a Galois-elmélet alaptételét , valamint a 4. fokú ciklikus kiterjesztésekre vonatkozó két tételt használja. [6]

Általánosított kvaterniócsoport

Egy csoportot általánosított kvaterniócsoportnak (vagy diciklikus csoportnak ) nevezünk, ha feladata van [4]

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .

valamilyen n ≥ 2 egész számra. Ezt a csoportot Q 4 n -nek jelöljük, és 4 n rendű . [7] Coxeter ezeket a diciklusos csoportokat <2,2,n>-ként említette, a bináris poliédercsoport <l,m,n> speciális esetének tekintve a poliédercsoportokhoz (p, q,r) és diédercsoport (2,2,n). A közönséges kvaterniócsoport az n = 2 esetnek felel meg . Az általánosított kvaterniócsoport izomorf a GL 2 ( C ) elemek által generált alcsoportjával.

\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&\overline {\omega }_{n}\end{array}}\right)

és

\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)

ahol ω n = e iπ/ n [4] . Ugyancsak izomorf az x = e iπ/ n és y = j kvaterniók által generált [8] csoporttal.

A Brouwer-Suzuki tétel kimondja, hogy azok a csoportok, amelyeknél a Sylow 2-alcsoportok általánosított kvaterniók, nem lehetnek egyszerűek.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lásd még a 2018. április 28-án archivált táblázatot a Wayback Machine -nél a Wolfram Alpha webhelyén
↑ Lásd Hall (1999), p. 190 Archivált : 2021. augusztus 6. a Wayback Machine -nél
↑ Kurosh A.G. Csoportelmélet. - M . : Nauka, 1967. - S. 57.
↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , p. 44-45.
↑ Artin, 1991 .
↑ Dean, Richard (1981). "Egy racionális polinom, amelynek csoportja a kvaterniók". The American Mathematical Monthly 88(1): 42–45. .
↑ Egyes szerzők (például Rotman, 1995 , 87., 351. o.) ezt a csoportot kétgyűrűs csoportnak nevezik , meghagyva az általánosított kvaterniócsoport nevet arra az esetre, amikor n kettő hatványa.
↑ Brown, 1982 , p. 98.

Irodalom

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-13-004763-2 .
Kenneth S. Brown. A csoportok kohomológiája. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homológiai algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
Richard A. Dean. Egy racionális polinom, amelynek csoportja a kvaterniók // American Mathematical Monthly . - 1981. - S. 88:42–5 .
D. Gorenstein. Véges csoportok. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
David L Johnson Témák a csoportos előadások elméletében. - Cambridge University Press , 1980. - ISBN 978-0-521-23108-4 .
Joseph J. Rotman. Bevezetés a csoportok elméletébe. - 4. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
P.R. Girard. A kvaterniócsoport és a modern fizika // European Journal of Physics. - 1984. - S. 5:25–32 .
Marshall Hall. A csoportok elmélete. - 2. - AMS Könyvesbolt, 1999. - ISBN 0-8218-1967-4 .
Alexander G. Kurosh. Csoportok elmélete. - AMS Könyvesbolt, 1979. - ISBN 0-8284-0107-1 .

Külső linkek

Weisstein, Eric W. Quaternion csoport (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .