Galois csoport

A Galois csoport a mezőbővítményhez társított csoport . Fontos szerepet játszik a térkiterjesztések tanulmányozásában , különösen a Galois-elméletben . Ezt a fogalmat (a polinom gyökeinek permutációs csoportjával összefüggésben ) Evariste Galois vezette be a matematikába 1832-ben.

Definíció

Legyen a K mező a P mező Galois kiterjesztése . Egy K mező egy-egy leképezését önmagára automorfizmusnak nevezzük, ha az összeget az összegre, a szorzatot pedig a szorzatra képezi le, vagyis ha a K mező bármely elemére az egyenlőségeket . $f$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Az adott mezőbővítéshez tartozó Galois-csoport a K mező összes olyan automorfizmusának gyűjteménye, amely megőrzi a P : mező elemeit . Általában G ( K , P ) vagy Gal ( K , P ) néven jelölik. $\forall a\in P\;f(a)=a$

Tulajdonságok

A véges kiterjesztés Galois-csoportja véges . Sorrendje (elemszáma) megegyezik a tágulási mértékkel [ K : P ].

Példák

Ha a kiterjesztett mező egybeesik az eredetivel, akkor a Galois-csoport egyetlen elemet tartalmaz: az egységet (identitás automorfizmus).
A valós számok mezőjének kiterjesztéséhez az összes komplex szám mezőjére , a Galois-csoport 2 elemet tartalmaz: az egység és a komplex konjugáció .
A kiterjesztés mező olyan számokból áll , ahol a , b racionális számok . A Galois-csoport itt 2 elemet tartalmaz: az egységet és azt a műveletet, amely a 2. tag előjelét -val változtatja . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Legyen p prímszám . _ Tekintsük a véges mezőket és , amelyek közül az első természetesen beágyazódik a másodikba. Ennek a kiterjesztésnek a Galois-csoportja ciklikus , a Frobenius-automorfizmus generálja . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Algebrai egyenlet Galois-csoportja [1] .

Tekintsünk egy negyedik fokú algebrai egyenletet . Lehetővé teszi az x változó következő átalakításait : . A következők esetében az . Ebből az következik, hogy . Ez azt jelenti, hogy az egyenlet átalakítható .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

Mert kiderül . Ha ezt az egyenletet elosztjuk az eredetivel , akkor . Tehát az átalakítást az egyenlet is megengedi .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

Hasonlóképpen a transzformációhoz a következő transzformációs képletet kaphatjuk: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Most bizonyítsuk be, hogy az egyenlet a transzformációk végtelen csoportját engedi meg, ahol minden olyan egész (pozitív és negatív) értéket vesz fel, amelyek nem többszörösei ötnek. Először nézzük meg a helyettesítést . Ebből az egyenlőségből következik, hogy , ..., . Annak bizonyításához, hogy az egyenlet a transzformációk végtelen csoportját engedi meg -ra , elegendő megmutatni, hogy a transzformáció megengedett . Ehhez az átalakításhoz a következőkkel rendelkezünk: . A negatív egész értékeket a transzformáció alkalmazásával kapjuk meg . Könnyű bizonyítani, hogy az így létrejövő transzformációk egy csoportot alkotnak.

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\displaystyle x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

5\!\ \nmid n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

A megszerkesztett transzformációk csoportja egy egyenlet minden gyökerét ugyanazon egyenlet gyökévé alakítja. Kövessük most nyomon, hogy az egyenlet egyes gyökerei pontosan hogyan alakulnak át ennek a transzformációs csoportnak a hatására. Az algebra során ismeretes, hogy az egyenlet gyökei számok . Az átalakítás a gyökér -t , a gyökér -t , a gyökér -t , a gyökér -t -re fordítja . Az eredményül kapott helyettesítést jelöli . Hasonló módon kimutatható, hogy a transzformáció behelyettesítéshez vezet . Az átalakítás behelyettesítést eredményez . A fennmaradó átalakítások nem adnak új helyettesítéseket.

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

{\megjelenítési stílus (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}

Így az egyenlet gyökeinek transzformációinak csoportja egy véges, négyes rendű csoportot indukál, amely a következő elemekből áll: . Ezt a véges csoportot az egyenlet Galois-csoportjának nevezzük .

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

{\megjelenítési stílus 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}

P(x)

Legyen az n fokú körosztási mező . A kör alakú kiterjesztés Galois-csoportja izomorf a maradékgyűrű modulo n multiplikatív csoportjával . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Alkalmazás

Mezőkiterjesztések

Tekintsünk egy egymást követő mezőbővítések láncát: Alkossunk Galois-csoportot a láncban szélsőséges mezőkre: A Galois-elmélet főtétele szerint a kiterjesztések láncában minden köztes mező a G csoport egy részcsoportjának felel meg , azaz mezőkiterjesztések lánca társítható egy beágyazott alcsoportok láncához, amely G -től a triviális alcsoportok felé szűkül . Ha az összes köztes mezőt egyszerre vesszük figyelembe (azaz a formájú mezőket ), akkor ez a megfeleltetés a köztes mezők halmazából a Galois-csoport alcsoportjainak halmazába való bijekció. Ráadásul a normál kiterjesztéseknek megfelelő alcsoportok G normál alcsoportjai , és fordítva. $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ $G=\operatorname {Gal} (L_{n}, L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\subset X\subset L_{n}$

Ez a megfeleltetés lehetővé teszi számunkra, hogy csoportelmélet segítségével tanulmányozzuk a mezők véges kiterjesztését. Ebből például azonnal következik, hogy egy adott normál kiterjesztéshez a köztes mezők száma mindig véges (mint egy véges csoport alcsoportjainak száma).

Algebrai egyenletek

Az algebrai egyenlet fő mezője olyan számok halmaza , amelyek az egyenlet együtthatóiból összeadás , kivonás , szorzás és osztás műveletekkel nyerhetők . A dekompozíciós mező olyan számok halmaza, amelyeket ugyanazon műveletek véges számával kaphatunk meg, az egyenlet együtthatói és gyökei alapján. A fő mező általános esetben csak egy részmezője a dekompozíciós mezőnek.

A dekompozíciós mező automorfizmusai által alkotott Galois-csoportot az egyenlet Galois-csoportjának szokás nevezni . A G Galois-csoportból származó bármely automorfizmus ( K , P ) egy tetszőleges polinom minden gyökerét a P mező felett visszaképezi ugyanannak a polinomnak a gyökére. Így minden olyan algebrai egyenlet Galois-csoportja, amelynek nincs több gyöke , permutációs csoportnak tekinthető (ezt maga Evarist Galois is így tekintette ).

Jegyzetek

↑ N. Kh. Ibragimov. Rövid kitérő a Galois-csoportról // A csoportelemzés ABC-je. - M . : Tudás, 1989. - S. 42.

Irodalom

Artin E. Galois elmélet. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Postnikov M. M. Galois elmélet. — M .: Nauka, 1963. — 220 p.