Kiterjesztés vége

A véges kiterjesztése egy mező olyan kiterjesztése, amely vektortérként véges dimenziós . A feletti vektortér dimenzióját kiterjesztési foknak nevezzük , és jelöli . $E\feldúlt K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $[E:K]$

A bővítmény tulajdonságainak vége

A véges kiterjesztés mindig algebrai . Valóban, legyen , mivel egyetlen elemre sem lehet lineárisan független az elemhalmaz, akkor van egy fok feletti polinom, amely nem magasabb , mint , vagyis a gyöke. $[E:K]=n$ $\alpha \in E$ $n+1$ $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ $K$ $n$ $\alpha$

Egy egyszerű algebrai kiterjesztés véges. Ha egy irreducibilis polinomnak van foka , akkor . $E=K(\alpha )$ $\alpha$ $K$ $n$ $[E:K]=n$

A mezők tornyában a mező akkor és csak akkor véges , ha véges és véges . Ez könnyen következik a vektorterek alapvető tulajdonságaiból. Ebben az esetben, ha a bázis felett van, és az alap felett van, akkor az alap felett van , tehát . $F\supset E\supset K$ $F$ $K$ $F$ $E$ $E$ $K$ $e_{1},...e_{n}$ $E$ $K$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $E$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $K$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

Egy véges E kiterjesztést végesen generálunk . Bármilyen alapelemet vehetünk generáló elemnek . Ezzel szemben minden véges generált algebrai kiterjesztés véges. Valóban, . Azok az elemek , amelyek algebraiak, egy nagyobb mezőben is azok maradnak . Ezután az egyszerű algebrai kiterjesztések végességére és a véges kiterjesztések tornyára vonatkozó tételeket alkalmazzuk. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$

Ha természetesen, akkor bármely kiterjesztés esetén (ha és szerepel valamilyen mezőben) a mezők összetétele véges kiterjesztés ). $E\feldúlt K$ $F\supset K$ $F$ $E$ $EF$ $F$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra - M:, Mir, 1967