Frobenius endomorfizmus

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Frobenius -endomorfizmus a főkarakterisztika kommutatív gyűrűjének endomorfizmusa , amelyet a képlet ad meg . Egyes esetekben, például egy véges mező esetében, a Frobenius-endomorfizmus automorfizmus , de általában nem ez a helyzet. $p$ $x\mapsto x^{p}$

Definíció és alapvető tulajdonságok

Legyen prímkarakterisztika kommutatív gyűrűje (különösen minden nullától eltérő karakterisztikájú integrálgyűrű ilyen ) . A gyűrű Frobenius endomorfizmusát a képlet határozza meg . A Frobenius-endomorfizmus valóban gyűrűhomomorfizmus , hiszen (az utolsó azonosság bizonyításához elegendő a bal oldalt felírni a Newton-féle binomiális képlet szerint, és megjegyezni, hogy az első és az utolsó kivételével minden binomiális együttható osztható -vel ). $R$ $p$ $R$ $F(x)=x^{p}$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ $p$

Ha az elsődleges karakterisztikájú gyűrűk tetszőleges homomorfizmusa , akkor , azaz: . $\varphi :R\to S$ $p$ ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p))$ $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$

Ez azt jelenti, hogy a Frobenius-endomorfizmus az identitásfüggvény természetes átalakulása (a karakterisztika kommutatív gyűrűi kategóriájában ) önmagába. $p$

Ha a gyűrű nem tartalmaz nem triviális nilpotenseket , akkor a Frobenius endomorfizmus injektív (mivel a magja nulla). Könnyű bizonyítani, hogy fordítva is igaz: ha egy nemtriviális nilpotens eltűnik a fokozatból kiindulva , akkor . A Frobenius-endomorfizmus nem feltétlenül szürjektív , még akkor sem, ha mezőről van szó. Például legyen a racionális függvények mezője együtthatókkal -ben , akkor a függvény nem a Frobenius-endomorfizmus képében található. $R$ $x$ $n$ $(x^{{n-1}})^{p}=0$ $R$ $R={\mathbb F}_{p}(t)$ $\mathbb {F} _{p}$ $t$

Egy mezőt tökéletesnek nevezünk, ha a karakterisztikája nulla, vagy a karakterisztikája pozitív, és a Frobenius-endomorfizmus szürjektív (tehát automorfizmus). Különösen minden véges mező tökéletes. $K$

Rögzített pontok

Tekintsünk egy véges mezőt . Fermat kis tétele szerint ennek a mezőnek minden eleme kielégíti az egyenletet . Egy harmadfokú egyenletnek nem lehet több gyöke, ezért a mező bármely kiterjesztésében a Frobenius-endomorfizmus fix pontjai pontosan a mező elemei . Hasonló állítás igaz a karakterisztikájú integrálgyűrűkre is . $\mathbb {F} _{p}$ $x^{p}=x$ $p$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$

A Frobenius-endomorfizmus fokai is hasonló tulajdonságokat kielégítenek. Ha véges mező, akkor minden eleme kielégíti az egyenletet , és ennek a mezőnek bármely kiterjesztésében az eredeti mező elemei a Frobenius-endomorfizmus th-edik fokának fix pontjai, azaz fix pontjai . ${\mathbb F}_{{p^{k))}$ $x^{{p^{k}}}=x$ $k$ $x\mapsto x^{{p^{k}}}$

A Galois-csoport generáló eleme

A véges mező véges kiterjesztésének Galois-csoportja ciklikus , és a Frobenius-endomorfizmus foka generálja. Tekintsük először azt az esetet, amikor a talajmező egyszerű . Legyen véges mező, ahol . Egy Frobenius-endomorfizmus megőrzi a prímtérelemeket , tehát a bővítmény Galois-csoportjának eleme . Kiderült, hogy ez a csoport ciklikus, és a generálja . Ennek a csoportnak a sorrendje , mivel az endomorfizmus azonos módon hat , és a kisebb erők nem hathatnak azonosan. $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{n}$ $F$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p))$ $F$ $n$ ${\displaystyle x\mapsto x^{q))$ $\mathbb {F} _{q}$

A kiterjesztésben a talajmezőt a Frobenius-endomorfizmus th-edik foka rögzíti , a kiterjesztés Galois-csoportja generálódik és sorrendje . $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ $n$ $F^{n}$ $k$

Frobenius endomorfizmus sémákhoz

Lásd még

Az egység primitív gyökere

Irodalom

Lidl R. Niederreiter G. Véges mezők. 2 kötetben. - M .: Mir, 1998.
Frobenius automorphism - Encyclopedia of Mathematics cikk . L. V. Kuzmin
Frobenius endomorphisms - cikk az Encyclopedia of Mathematicsból . L. V. Kuzmin