Az egység primitív gyökere

Az egység primitív gyöke (vagy primitív gyöke ) egy mezőben olyan elem , mint bármely természetes . $m$ $K$ $\xi \in K$ $\xi ^{m}=1$ $\xi ^{\ell }\not =1$ $\ell <m$

Ha a komplex számok mezeje , akkor a primitív gyök hatványai az egységből származó sorrend gyökeinek ciklikus csoportját alkotják . $K$ $\xi$ $m$

Tulajdonságok

Ha a mezőben van a fokszám primitív gyöke , akkor az a mező karakterisztikájával párhuzamos . $K$ $m$ $m$ $K$
Egy algebrailag zárt mező bármely fokú koprím primitív gyökét tartalmazza a mező karakterisztikájával.
Ha a fok primitív gyöke , akkor bármely relatíve prím c esetén az elem is primitív gyök. Ebből különösen az következik, hogy a fok összes primitív gyökének száma (ha léteznek) egyenlő az Euler-függvény értékével . $\xi$ $m$ $\ell$ $m$ ${\displaystyle \xi ^{\ell ))$ $m$ $\varphi(m)$
A komplex számok területén az m fokú primitív gyökök alakja: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m))+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m }}$ , hol van a koprím -val . $\ell$ $m$

Egy véges mezőben , ahol q egy prímszám hatványa , a fok primitív gyöke a mező (ciklikus) multiplikatív csoportjának generátora, és primitív elemnek nevezzük . $\mathbb {F} _{q}$ $q-1$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. Definíciók, tételek, képletek . - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál
Milne, James S. Algebrai számelmélet . Tanfolyami jegyzetek (2014). Letöltve: 2014. október 1. archiválva az eredetiből: 2014. december 17. (határozatlan)