Természetes átalakulás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A kategóriaelméletben a természetes átalakulás módot ad arra, hogy az egyik funktort a másikba fordítsuk, miközben megőrzi a belső szerkezetet (például a morfizmusok kompozícióit). Ezért a természetes átalakulás felfogható a "funkktorok morfizmusaként". Ez az intuíció szigorúan formalizálható a funktorok kategóriájának meghatározásában . A természetes átalakulások a legalapvetőbb definíciók a kategóriaelméletben, a funktorokkal együtt, mert ez a legtöbb alkalmazásban megjelenik.

Definíció

Legyen és legyen kovariáns funktorok a kategóriától a -ig . Ekkor a természetes transzformáció a kategória minden objektumához hozzárendel egy morfizmust a kategóriában , amelyet komponensnek nevezünk , így bármely morfizmusra az alábbi ábrán látható diagram kommutatív. A kontravariáns függvények esetében a definíció pontosan ugyanaz (csak a vízszintes nyilakat kell megfordítanunk, mivel a kontravariáns morfizmus megfordítja őket). $F$ $G$ $C$ $D$ $x$ $C$ $\eta_X\kettőspont F(X) \ to G(X)$ $D$ $\eta$ $x$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $C$ $D$

Ha η egy F függvény természetes átalakulása G függvényré , akkor η : F → G -t írunk . Azt is mondják, hogy az η X : F ( X ) → G ( X ) morfizmusok családja természetes X -ben.

Ha C -ben minden X - re X η morfizmusa D izomorfizmusa , akkor η-t természetes izomorfizmusnak (vagy néha természetes ekvivalencia- vagy funktorizomorfizmusnak ) nevezzük.

Egy η infratermészetes transzformáció F -ből G -be egyszerűen η X : F ( X ) → G ( X ) morfizmusok családja. Az η naturalizálója, a nat(η) a C legnagyobb alkategóriája, amely a C azon objektumait tartalmazza, amelyek megszorításában η természetes átalakulás.

Ha η : F → G és ε : G → H természetes átalakulások, akkor az összetételük alapján εη : F → H természetes átalakulást kaphatunk . Ez komponensenként történik: (εη) X = ε X η X. Ez a művelet asszociatív, és van egy egysége, amely lehetővé teszi a funktorok kategóriájának kialakítását .

Példák

Példa természetes átalakulásra

A természetes átalakulásra példa a determináns . Valóban, legyen egy kommutatív gyűrű , akkor a négyzetes sorrendű mátrixok monoidot alkotnak a szorzás szempontjából, és magának a gyűrűnek a multiplikatív monoidja . Legyen egy funktor, amely egy gyűrűt vesz egy monoid mátrixba rajta. Mivel a determináns szorzásban, összeadásban és kivonásban van kifejezve, amelyeket a gyűrű morfizmusai őriznek meg (ami azt jelenti, hogy a morfizmus és ezek a műveletek ingáznak), a leképezés természetes transzformáció lesz egy funktor és egy funktor között, hozzárendelve mindegyik gyűrűnek azonos a multiplikatív monoidja (mindkét funktor a kommutatív gyűrűk kategóriájától a monoidok kategóriájáig ). $R$ $n$ $R$ $R'$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $\mathbf{CRing}$ $\mathbf {hétfő}$

Példa egy "természetellenes" átalakításra

Mondjunk egy példát egy olyan átalakulásra, amely nem természetes. Legyen egy n - dimenziós vektortér a mező felett . az alapja, az alapja a funkcionális kettős térnek , úgy, hogy $V$ $\mathbb {F}$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $e^1,e^2,\pontok,e^n$ $D(V)$

e^i(e_j) = \delta^i_j

hol van a Kronecker szimbólum . Minden n -dimenziós tér izomorf. Tegyük fel $\delta^i_j$

k(e_i)=e^i

és lineárisan kiterjed a teljes térre . leképezi az azonos (nyilvánvalóan kovariáns) funktort egy kontravariáns funktorra , amely leképezi a vektorteret a funkcionálisok kettős terére . Ha a véges dimenziós vektorterek kategóriáját vesszük, ahol a morfizmusok izomorfizmusok (és nem akármilyen lineáris leképezések), akkor a kontravariáns függvényt helyettesíthetjük egy kovariáns funktorral (ahol , ). A transzformáció a valós számok mezője feletti egydimenziós tér legegyszerűbb esetben sem lesz természetes. Valóban, legyen V egydimenziós, az izomorfizmus pedig 2-vel való szorzás: $k$ $V$ $k$ $én$ $D$ $f$ $D$ $D'$ $D'(V) = D(V)$ $D'(f) = D(f^{-1})$ $k\kettőspont V \- D(V)$ $f\kettőspont V\az V$

f(e_1) = 2 e_1

Ekkor , míg , azaz a diagram nem kommutatív. $D'(f)(k(e_{1}))={1 \over 2}e^{1}$ $k(f(e_1)) = 2 e^1$

Ennek oka teljesen világos – egy teljesen véletlenszerűen választott alap határozza meg. Ha a második duális teret vesszük , akkor véges dimenziós tér esetén van egy izomorfizmus (nevezetesen bármely és funkcionális ). Ebben az esetben az izomorfizmus meghatározza az identitás-funktor természetes átalakulását funktorrá . $k$ $D(D(V))$ $h\kettőspont V \-D(D(V))$ $h(x)(f) = f(x)$ $x\in V$ $f\in D(V)$ $h$ $én$ $D^{2}$

Polimorf függvények

A természetes átalakulások másik fontos példája a polimorf függvények ( paraméteres polimorfizmus ). Egy ilyen konverzióra példa a fordított :: forall függvény. [a] -> [a] , amely megfordítja egy tetszőleges típusú elemlistát. Ebben az esetben h(T) fordított T :: [T] -> [T]; az F és G függvények pedig Lista.

Ez a tény így fogalmazható meg: forall f :: a -> b : map f . fordított a = fordított b . térkép f . Ez az egyik úgynevezett "szabad tétel".

Minden parametrikusan polimorf függvény természetessége a Reynolds-tétel következménye .

Irodalom

Dold A. Előadások az algebrai topológiáról - M. : Mir, 1976.
McLane S. Homology – M .: Mir, 1966.
McLane S. Kategóriák egy dolgozó matematikus számára - M . : Fizmatlit, 2004.
Wadler, Philip – Tételek ingyen!