Funktorok kategóriája

A kategóriaelméletben a két rögzített kategória közötti funktorok olyan kategóriát alkotnak, amelynek morfizmusai természetes átalakulások .

Definíció

Legyen C egy kis kategória (objektumai és morfizmusai halmazt alkotnak), D pedig tetszőleges kategória. Ekkor a Fun( C , D ), Funct( C , D ) vagy D C jelölésű funktorok kategóriáját C - től D - ig a következőképpen definiáljuk: az objektumok C -től D -ig tartó kovariáns funktorok , a morfizmusok ezek közötti természetes transzformációk. funktorok. Mivel a természetes átalakulások összetétele természetes (lásd természetes átalakulás ), és az identitás-transzformáció természetes, D Ckielégíti a kategória axiómáit.

A C -től D -ig tartó kontravariáns funktorok kategóriája hasonlóképpen van meghatározva, Funct( C op , D ) jelöléssel.

Példák

Ha I egy kis diszkrét kategória (minden morfizmus azonos), akkor egy I -től C -ig tartó függvény csak a C objektumok családja, amelyet I indexel . A C I. kategória ebben az esetben a termék valamely kategóriájának felel meg .
A nyilak kategóriája (az objektumok C morfizmusai, a morfizmusok kommutatív négyzetek) a kategóriája , ahol a 2 két objektum kategóriáját jelöli, azonos morfizmusok, és egy morfizmus az első objektumtól a másodikig. ${\mathcal {C}}^{\jobbra }$ ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$
az irányított gráf nyilak halmaza és csúcsok halmaza, amelyek minden nyilat egy kezdő és egy végcsúcshoz társítanak. Az irányított gráfok kategóriája nem más, mint a C halmaz kategória , ahol C egy kategória két objektummal és közöttük két morfizmussal, a Halmaz pedig a halmazok kategóriája .

Tulajdonságok

Ha D teljes kategória (vagy társteljes), akkor D C is az ;
Ha D egy Abel-kategória , akkor D C is az ;
Ha C egy kis kategória, akkor a presheaves C halmaz kategóriája egy toposz .
Minden F : D → E funktor indukál egy F C : D C → E C függvényt ( F összetétellel ). Ha F és G egy adjunkt függvénypár , akkor F C és G C is az .
A D C kategória az exponenciális összes tulajdonságát kielégíti ; különösen az E × C → D függvények egy az egyben megfelelnek az E és D C közötti függvényekkel . A kis kategóriák macska kategóriája ezért zárt derékszögű .

Irodalom

Tom Leinster. Magasabb operációk, magasabb kategóriák (határozatlan) . — Cambridge University Press , 2004. Archiválva : 2013. december 6. a Wayback Machine -nél