Elemi toposz

Az elemi toposz a halmazok kategóriájához bizonyos értelemben hasonló kategória , a toposzok elméletének fő vizsgálati tárgya . Az elemi topoi segítségével leírható mind magának a halmazelméletnek , mind az alternatív elméleteknek és logikáknak axiomatikája , például az intuicionista logika .

Definíció

Az elemi toposz egy derékszögű , véges teljes kategória , amelyben van egy megkülönböztetett objektum , amelyet részobjektum- osztályozónak neveznek , és egy monomorfizmus van benne egy végső objektumból , amelyet igazságnak neveznek (más néven ), úgy, hogy minden monomorfizmushoz létezik egyedi morfizmus , amelyre a diagram $\Omega$ $T\colon 1\to \Omega$ $igaz$ $m\colon A\to B$ $\chi _{m}\colon B\to \Omega$

egy derékszögű négyzet .

Más szavakkal, az elemi toposz egy olyan kategória, amely tartalmaz egy terminálobjektumot és száltermékeket , valamint bármely két objektum exponenciálisát és egy alobjektum osztályozót . $a^{b}$ $a$ $b$ $\Omega$

Tulajdonságok

Bármely elemi toposz végesen teljes (definíció szerint) és végesen komplett .

Példák

Az olyan toposzok fő példája, amelyek tulajdonságai a közös definíció alapját adták, a halmazok toposzai . Ebben a és halmazok exponenciálisa a -tól -ig való leképezések halmaza . Az alobjektum osztályozó a halmaz , ahol a természetes beágyazás , és a halmaz azon részhalmazának jellemző függvénye , amely egyenlő 1-el az elemein és 0-val az elemein . Az alobjektumok annak részhalmazai. $A$ $B$ $A^{B}$ $B$ $A$ $\Omega =\{0;1\}$ $m$ $A$ $B$ $\chi _{m}$ $A$ $B$ $A$ $A\backslash B$ $A$
A véges halmazok kategóriája is toposz. Ez egy tipikus példa egy olyan elemi toposzra, amely nem Grothendieck toposz.
Bármely kategória esetében a funktorok kategóriája egy Grothendieck toposz. A funktorok határértékei és kolimitjai pontonként kerülnek kiszámításra. Funktorok esetén a morfizmus függvényt a képlet adja meg $C$ $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ $F,G$ $[F,G]$

[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))

Yoneda lemmájából az következik, hogy az objektum részobjektum- osztályozója megegyezik a reprezentálható függvény alfunktorainak halmazával .

\Omega

c\in C

\mathrm {Hom} (c,\cdot )

A tetszőleges topológiai térben lévő halmazok láncainak kategóriája egy Grothendieck-toposz. Ha egy térhez hozzárendeljük a beágyazással rendezett nyitott részhalmazok kategóriáját, akkor a toposzok szerkezete a tárcsák kategóriáján pontosan ugyanúgy leírható, mint a toposoknál . Az egyetlen különbség az, hogy egy reprezentálható kötegnek van egy halmaza . $x$ $Ouv(X)$ $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$ $\Omega (c)$ $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$
Általánosabban fogalmazva, minden adott Grothendieck topológiájú kategória esetén a halmazok -sheaves kategóriája egy Grothendieck toposz. Ráadásul minden Grothendieck toposznak van ilyen formája. $C$ $\tau$ $\tau$
Általánosságban elmondható, hogy nem minden Grothendieck-toposz tartozik a kévék kategóriájához valamilyen topológiai térben. Például egy topológiai térben lévő tárcsák toposzának mindig vannak pontjai, amelyek megfelelnek a térben lévő pontoknak, míg egy általános toposznak nincs pontja . A toposz és a szóköz közötti analógia pontosítható, ha a lokálisokat szóköznek tekintjük , és a toposzok kategóriája ekvivalens a lokális kategóriával. Informálisan egy lokál az, ami megmarad a topológiai tér fogalmából, ha megfeledkezünk a pontokról, és csak a nyitott részhalmazainak a rácsát vesszük figyelembe. A topológiai terek esetében nincs különbség aközött, hogy szóközként és lokálisként tekintjük őket. A lokálnak azonban nem kell megfelelnie valamilyen topológiai térnek. Különösen nem szükséges, hogy pontok legyenek.

Irodalom

Goldblatt R. Topoi. A logika kategorikus elemzése = Topoi. A logika kategoriális elemzése / Per. angolról. V. N. Grishin és V. V. Shokurov, szerk. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
P. T. Johnston. Topoi elmélet / Szerk. Yu.I. Manin. — M .: Nauka , 1986. — 440 p.
F. Borceux. Kategorikus algebra kézikönyve 3. Kévék kategóriái. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 522 p. — ISBN 0 521 44180 3 .
PT Johnstone. Vázlatok egy elefántról: Toposzelméleti kompendium. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - 1. kötet - ISBN 0 19 852496 X.