A kategóriaelméletben az alobjektum osztályozó egy kategória speciális Ω objektuma; intuitív módon az X részobjektumai az X - től Ω -ig terjedő morfizmusoknak felelnek meg . Az objektumok „osztályozásának” módja úgy írható le, hogy „true”-t rendel X egyes elemeihez.
A halmazok kategóriájában az alobjektumok osztályozója az Ω = {0,1} halmaz: egy tetszőleges S halmaz minden A részhalmaza hozzárendelhető a karakterisztikus függvényéhez - egy S -től Ω-ig tartó függvény, amely az 1 értéket veszi fel a Az A és 0 részhalmaz a komplementerén, és fordítva, S -től Ω-ig bármely függvény valamely részhalmaz jellemző függvénye. Ha χ A valamilyen karakterisztikus függvény az S halmazon , akkor a következő diagram egy derékszögű négyzet :
Itt igaz : a {0} → {0, 1} olyan leképezés, amely 0-t 1-re képez le.
Általánosságban tekinthetünk egy tetszőleges C kategóriának , amelynek terminális objektuma van, amit 1-nek fogunk jelölni. A C kategóriájú Ω objektum a C részobjektumainak osztályozója, ha létezik morfizmus
1 → Ωa következő tulajdonsággal:
bármely j : U → X monomorfizmushoz létezik olyan egyedi χ j : X → Ω morfizmus, amelyre a négyzet Descartes , azaz U a diagram határértékeA χ j morfizmust a j monomorfizmussal reprezentált részobjektum osztályozó morfizmusának nevezzük .