A kategóriaelméletben az alobjektum durván szólva egy olyan objektum, amely egy kategória másik objektumában található. A definíció általánosítja a halmazelméletben a részhalmaz és a csoportelméletben az alcsoport régebbi fogalmait . [1] Mivel a kategóriaelmélet nem veszi figyelembe az objektumok "valódi" szerkezetét, a definíció morfizmusok, nem pedig "elemek" használatára támaszkodik.
Legyen A valamilyen kategória tárgya. Két monomorfizmusa van :
u : S → A és v : T → Aegy általános A képpel azt mondjuk, hogy u ≤ v , ha u "átmegy" v -n, vagyis ha van olyan w : S → T morfizmus , hogy u = v ∘ w . Határozzuk meg a következő bináris relációt:
u ≡ v akkor és csak akkor, ha u ≤ v és v ≤ u .Ez egy ekvivalenciareláció az A képpel rendelkező monomorfizmusokon, nevezzük ennek ekvivalenciaosztályait A részobjektumainak . Az A képpel és ≤ relációval rendelkező monomorfizmusok előrendet alkotnak , de az alobjektum definíciója biztosítja, hogy A részobjektumai részben rendezett halmazt képezzenek .
Az alobjektum kettős fogalma faktorobjektum; vagyis a hányados objektum definíciójának megszerzéséhez a fenti definícióban a „monomorfizmust” az „epimorfizmussal” kell helyettesíteni, és meg kell változtatni az összes nyíl irányát.
A halmazok kategóriájában az A részobjektumai megfelelnek A részhalmazainak , pontosabban a halmazok összes beágyazásának osztályának, amelyek egyenértékűek egy adott részhalmaz egy adott részhalmazával. Ugyanez igaz a csoportok kategóriájára és néhány más kategóriára is.