Előrendelés

Az előrendelés ( kvázi-rendelés ) egy bináris reláció egy halmazon , amely reflexivitás és tranzitivitás tulajdonságokkal rendelkezik . Általában ezt a relációt jelöljük , ekkor a halmazon az előrendező axiómák a következő alakot öltik: $\preccurlyeq$ $M$

\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a

\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)

A lineáris előrendelés olyan előrendelés, amelyhez a halmaz bármely két eleme összehasonlítható:

\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)

Kategóriaelmélet

Egy kategóriát előrendelésnek nevezünk , ha bármely két objektumhoz legfeljebb egy morfizmus tartozik . Ha egy kis kategória , akkor az objektumainak halmazán beállíthatjuk az előrendelési relációt a következő szabály szerint: ${\mathcal P}$ $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ $f\colon a\to b$ ${\mathcal P}$

a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b

A kategória axiómáiból következik, hogy egy ilyen reláció reflexív és tranzitív lesz. Az előrendelés egy absztrakt kategória , vagyis általános esetben nem ábrázolható bizonyos halmazok kategóriájaként, adott szerkezettel és leképezésekkel, amelyek megőrzik ezt a struktúrát. Szintén előrendelhető egy csontváz kategória .

Ha egy kis kategória teljes egy kicsiben , akkor az előrendelésről van szó, és minden kis elemhalmaza rendelkezik a legnagyobb alsó korláttal. Az előrendelési objektumok halmazának (halmazának, osztályának) szorzata ennek a halmaznak a legnagyobb alsó korlátja . Egy objektumhalmaz együttszorzata a legkisebb felső korlátja . Az előrendelés kezdeti objektuma , ha létezik, a legkisebb objektum, tehát . Hasonlóképpen, egy előrendelés terminális objektuma a legnagyobb objektum benne. ${\mathcal C}$ $0$ ${\mathcal P}$ $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$

Az előrendelések kategóriájának tárgyai (általában jelöléssel ) előrendelések (a kategóriák értelmében), különösen olyan halmazok, amelyeken az előrendelési reláció adott. Az ebbe a kategóriába tartozó morfizmusok olyan beállított leképezések , amelyek megőrzik az előrendelési relációt, azaz a monoton leképezéseket . A kis előrendelések alkategóriája egy konkrét kategória , amely nyilvánvalóan egyértékű feledékenységgel rendelkezik : $\mathbf {Preord}$ $\mathbf {Preord} _{S}$

U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set}

minden kis előrendeléshez hozzárendelve egy objektumkészletet, és minden morfizmushoz a megfelelő halmazok monoton leképezését. Ez a funktor korlátokat hoz létre a -ban . Így ehhez hasonlóan a kezdeti objektum -ben egy üres halmaz , a terminálobjektum egy elem halmaza, az objektumok szorzata a megfelelő halmazok közvetlen szorzata komponensenkénti összehasonlítással. $\mathbf {Preord}$ ${\mathbf {Set}}$ $\mathbf {Preord}$

Irodalom

Goldblatt R. Topoi. A logika kategorikus elemzése = Topoi. A logika kategoriális elemzése / Per. angolról. V. N. Grishin és V. V. Shokurov, szerk. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
McLane S. 1. fejezet. Kategóriák, funktorok és természetes transzformációk // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .