Komplett és egyértékű funktorok

A kategóriaelméletben az univalens funktor (illetve teljes funktor ) egy olyan funktor, amely injektív (ill. szürjektív ) minden morfizmushalmazon, fix képpel és előképpel.

Pontosabban, legyen lokálisan kis C és D kategória, és legyen F : C → D egy C -től D -ig tartó függvény . Ez a funktor egy függvényt indukál

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

C -ből származó X és Y objektumok minden párjára . Az F függvényt nevezzük

egyértékű (vagy szigorú ), ha az F X , Y függvény injektív
teljes , ha F X , Y szürjektív
teljesen univalens (vagy teljes és egyértékű), ha F X , Y bijektív

minden X -re és Y - re C -ben .

Tulajdonságok

Egy univalens funktor nem feltétlenül injektív a C kategóriájú objektumokon , így egy teljesen univalens funktor képének nem kell C -vel izomorf kategóriájúnak lennie . Hasonlóképpen, a teljes funktor nem feltétlenül szürjektív az objektumokon. Egy teljesen univalens funktor azonban injektív objektumokon egészen izomorfizmusig, vagyis ha F : C → D teljesen univalens és , akkor (ebben az esetben az F funktorról azt mondjuk, hogy izomorfizmusokat tükröz). $F(x)\cong F(y)$ $x \cong y$
Bármely univalens funktor monomorfizmusokat és epimorfizmusokat tükröz . Ebből az következik, hogy egy kiegyensúlyozott kategóriából bármely univalens funktor izomorfizmusokat tükröz.

Példák

Az U : Grp → Set felejtő függvény univalens, mivel a csoporthomomorfizmust a támogatott halmazokon egy függvény határozza meg. Egy halmazban szigorú függvényt tartalmazó kategóriát konkrét kategóriának nevezzük .
Az Ab -t Grp -be ágyazó funktor teljesen egyértékű.

Lásd még

Irodalom

McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bucur I., Deleanu A. Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe. - M .: Mir, 1972.