Kategória egyenértékűség

A kategória-ekvivalencia a kategóriaelméletben a kategóriák közötti kapcsolat, amely azt mutatja, hogy két kategória „lényegében ugyanaz”. Az ekvivalencia megállapítása a megfelelő matematikai fogalmak mély kapcsolatáról tanúskodik, és lehetővé teszi a tételek „átvitelét” egyik struktúrából a másikba.

Definíció

Két C és D kategória esetén ezek ekvivalenciája adott, ha adott egy F : C → D , egy G : D → C , valamint két ε természetes izomorfizmus : FG → I D és η : I C → GF . Itt az I C : C → C és az I D : D → D azonos funktorok C -n és D -n . Ha F és G kontravariáns funktorok, ez határozza meg a kategóriák kettősségét .

Egyenértékű megfogalmazások

Megmutatható, hogy egy F : C → D függvény akkor és csak akkor határozza meg a kategória ekvivalenciát, ha:

egészen egyedi és
sűrű, azaz a D kategória bármely d elemének izomorfizmusosztályában létezik olyan objektum, amelynek C-ben előképe van F hatására .

Ez a leggyakrabban használt kritérium, mivel nem szükséges egy "inverz" függvény kifejezett felépítése és két természetes transzformáció. Másrészt, bár a fenti tulajdonság garantálja az ekvivalencia meglétét, bizonyos adatok elvesznek, mert néha az ekvivalencia többféleképpen is elvégezhető. Ezért az ilyen tulajdonságokkal rendelkező F függvényt néha gyenge kategória ekvivalenciának nevezik .

Egy másik megfogalmazás az adjunkt függvények fogalmát használja : F és G akkor és csak akkor definiálja a kategóriák egyenértékűségét, ha mindkettő teljesen univalens és adjunkt.

Példák

Egy objektum kategóriája és egy morfizmus , valamint egy két objektum kategóriája és négy morfizmus között: két azonos , és két izomorfizmus között ekvivalenciát állapíthat meg, például: take , küldés ide és , mindent elküld a címre . Azonban például egy kategória nem ekvivalens két objektum és két azonos morfizmus kategóriájával. $C$ $c$ $1_{c}$ $D$ ${\displaystyle d_{1))$ ${\displaystyle d_{2))$ $1_{d_{1))$ $1_{d_{2))$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2))$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1))$ $F$ $c$ ${\displaystyle d_{1))$ $G$ $D$ $c$ $C$
Álljon a kategória egy objektumból és két morfizmusból , ahol . Ezután meghatároz egy természetes izomorfizmust önmagával (nem triviális, mivel a morfizmusokra nem azonos módon hat). $C$ $c$ $1_{c},f\colon c\to c$ $f\circ f=1$ $f$ $\mathbf {I} _{C}$
A véges dimenziós valós vektorterek kategóriája és a kategória (az objektumok természetes számok, a morfizmusok a megfelelő dimenzió mátrixai) ekvivalensek: a funktor hozzárendeli egy vektortérhez a dimenzióját (ami megfelel az egyes bázistérben választott választásnak). $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $F\colon C\to D$
Az algebrai geometria egyik központi témája az affin sémák és a kommutatív gyűrűk kategóriáinak kettőssége . A megfelelő funktor a gyűrűt a spektrumába küldi, amely az elsődleges ideálok által alkotott séma .

Tulajdonságok

A kategória ekvivalenciájával minden "kategorikus" tulajdonság megmarad: például az a tulajdonság, hogy kezdeti objektum , monomorfizmus , határérték vagy egy kategória tulajdonsága, hogy toposz .

Ha F : C → D kategóriák egyenértékűsége, és G 1 , G 2 "fordított" F -hez , akkor G 1 és G 2 természetesen izomorf.

Irodalom

Kategóriák egyenértékűsége - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból
McLane S. 4. fejezet Adjunkt funktorok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .