Adjunkt funktorok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az adjunkt funktorok olyan funktorpárok , amelyek bizonyos kapcsolatban állnak egymással. Adjunkt funktorokkal gyakran találkozunk a matematika különböző területein.

Informálisan az F és G függvények konjugáltak, ha kielégítik a relációt . Ekkor F -et bal oldali adjunkt függvénynek, G -t pedig jobboldalinak nevezzük. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motiváció

Az adjunkt funktorok a kategóriaelmélet egyik kulcsfontosságú eszközei , sok figyelemre méltó matematikai konstrukció írható le adjunkt funktornak. Ennek eredményeként számos érdekes eredmény bizonyítása azonnal következhet az adjunkt függvényekre vonatkozó általános tételekből, például a különböző definíciók ekvivalenciájából, és abból, hogy a jobb oldali adjunkt funktorok határértékekkel ingáznak (a bal oldaliak pedig kolimitokkal).

Az optimalizálási probléma megoldása

Azt mondhatjuk, hogy az adjungált funktor egy módja annak, hogy egy szabványos módszerrel meghatározzuk egy probléma leghatékonyabb megoldását. Például a gyűrűelmélet egyik elemi problémája az , hogyan lehet egy pszeudorálást (vagyis egy olyan gyűrűt, amelynek esetleg nincs multiplikatív egysége) gyűrűvé alakítani . Ennek leghatékonyabb módja, ha hozzáadunk egyet a gyűrűhöz, az összes elemet, amely a gyűrű axiómáinak kielégítéséhez szükséges (például r +1 típusú elemek , ahol r a gyűrű eleme), és nem feltételezzük minden olyan összefüggés az új gyűrűben, amely nem szükséges az axiómák kielégítéséhez. Ez a konstrukció abban az értelemben szabványos, hogy bármilyen álozásnál működik.

A fenti leírás nagyon homályos, de a kategóriaelmélet nyelvezetével pontosítható: egy konstrukció " leghatékonyabb ", ha kielégíti az univerzális tulajdonságot , és " szabvány " abban az értelemben, hogy definiál egy funktort. Az univerzális tulajdonságok kezdeti és terminálisra oszlanak, mivel ezek a fogalmak kettősek , elegendő az egyiket figyelembe venni.

A kezdeti tulajdonság használatának az az ötlete, hogy a problémát egy olyan E segédkategória alapján fogalmazzuk meg, hogy már csak az E kezdeti objektumot kell megtalálni . Ennek a megfogalmazásnak az az előnye, hogy a "leghatékonyabb megoldás megtalálásának" problémája meglehetősen szigorúvá válik, és bizonyos értelemben hasonló a szélsőség megtalálásának problémájához . A megfelelő E kategória kiválasztásához néha nehéz trükköket kell választani: egy R félgyűrű esetén az a kategória, amelynek tárgyai az R → S félgyűrűk homomorfizmusai , ahol S egy azonos gyűrű. Az E -ben az R → S 1 és R → S 2 közötti morfizmusok ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) alakú kommutatív háromszögek , ahol S 1 → S 2 egy gyűrűhomomorfizmus. Az R → S 1 és R → S 2 közötti morfizmus megléte azt jelenti, hogy S 1 nem kevésbé hatékony megoldás a feladatra, mint S 2 : S 2 több hozzáadott elemet és/vagy több relációt tartalmaz közöttük, mint S 1 .

Azt mondani, hogy ez a módszer egy probléma " leghatékonyabb " és " standard " megoldását határozza meg, ugyanaz, mint azt mondani, hogy adjunkt függvényeket határoz meg.

Formális definíciók

Számos egyenértékű definíciója létezik az adjungált funktoroknak. Egyenértékűségük elemi, de nem triviális.

Az univerzális nyíldefiníció könnyen megfogalmazható, és az „optimalizálási problémával” kapcsolatos intuíciónkhoz is a legközelebb áll.

Az egység- és egységdefiníció kényelmes az algebrában gyakran előforduló funktorok számára, mivel közvetlenül ellenőrizhető képleteket biztosít.

A Hom halmaz definíciója szimmetrikussá teszi a definíciót, és tisztázza a függvények "adjungint" hívásának okait.

Univerzális nyíl

Egy F : C ← D függvény bal oldali adjunkt funktor , ha minden C kategóriájú X objektumhoz létezik egy ε X terminális nyíl F - től X - ig . Ha C -ben minden X - hez választunk egy D -beli G 0 X objektumot , amelyre egy ε X : F ( G 0 X ) → X terminális nyíl van definiálva , akkor létezik egy egyedi G : C → D függvény , amelyre GX = G 0 X és a C f kategória bármely morfizmusára : X → Xʹ van ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F -et ekkor a G funktor bal adjunktjának nevezzük .

Egy G : C → D függvény egy jobb oldali adjunkt funktor , ha a D kategória minden Y objektumához van egy kezdőnyíl Y - től G - ig . Ha minden D - beli Y - hez kiválasztunk egy F 0 Y objektumot C -ben úgy, hogy az η Y : Y → G ( F 0 Y ) kezdőnyíl Y -től G -ig definiálva legyen , akkor létezik egy egyedi F : C ← D függvény , ilyen hogy FY = F 0 Y és GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g g esetén : Y → Yʹ egy morfizmus D -ben ; G -t ezután az F függvény jobb oldali adjunktjának nevezzük .

A terminológia szerint igaz, hogy F akkor és csak akkor G bal oldali duálisa, ha G az F jobboldali duálisa . Ez azonban nem nyilvánvaló az univerzális nyílra vonatkozó definícióból, hanem nyilvánvaló az egység és az egység definíciójából.

Unit and couunit

Egy egység és egy egység meghatározásához a C és D kategóriákban két F : C ← D , G : C → D függvényt és két természetes transzformációt kell rögzítenünk :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

társegységnek , illetve ragozási egységnek nevezzük úgy, hogy a kompozíciók

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

és

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

az F és G függvények 1 F és 1 G azonos transzformációi .

Ilyen helyzetben F G bal oldali konjugátuma, G pedig F jobb oldali konjugátuma . Néha ezt a kapcsolatot jelölik vagy egyszerűen . $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

Egyenletek formájában a fenti feltételeket (ε,η) egység- és egységegyenleteknek nevezzük :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Definíció Hom függvényen keresztül

Tekintsünk két F : C ← D és G : C → D függvényt . Legyen egy természetes izomorfizmus :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\to {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Ez meghatározza a bijekciók családját:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

minden X objektumra C -ben és Y objektumra D -ben .

Itt F -et bal konjugátumnak nevezzük G esetén , G -t pedig F jobboldali konjugátumának .

Ahhoz, hogy megértsük, mit értünk Φ természetessége alatt , el kell magyarázni, hogy a hom C ( F -, -) és a hom D ( -, G -) hogyan funkcionális. Valójában mindketten bifunktorok D op × C -tól Set -ig . A Φ természetessége kifejezetten azt jelenti, hogy minden f : X → X ′ morfizmusra C -ben és g : Y ′ → Y morfizmusra D - ben a következő diagram ingázik:

Példák

Ingyenes csoportok

A szabad csoport felépítése kényelmes példa a definíciók lényegének tisztázására. Legyen F : Grp ← Set függvény, amely egy Y halmazhoz társítja az Y elemei által generált szabad csoportot , a G : Grp → Set pedig egy felejtő függvény , amely egy X csoportot társít a támaszkészletéhez. Ekkor F a G bal oldali adjunktja :

Terminálnyilak: minden X csoportnál az FGX csoport egy szabad csoport, amelyet X elemei készletként generálnak . Legyen egy csoporthomomorfizmus, amely az FGX generátorait X megfelelő elemeire viszi . Ekkor egy terminális morfizmus F -ből X -be, mivel az FZ szabad csoportból X -be bármely homomorfizmus átvihető egyetlen függvény segítségével a Z halmazból az X halmazba . Ez azt jelenti, hogy ( F , G ) adjunkt funktorpár. $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Hom halmazok: az FY szabad csoportból az X csoportba való leképezések egyértelműen megfelelnek az Y halmazból a GX halmazba történő leképezéseknek : minden homomorfizmust egyedileg határoznak meg a szabad csoport generátorain lévő értékei. Közvetlen számítással ellenőrizhető, hogy ez a megfeleltetés természetes transzformáció, tehát az ( F , G ) pár konjugált.

További példák az algebrából

Minden szabad objektum a szabad funktor alkalmazásának eredménye, amely a felejtős funktor bal adjunktja .
A termékek , kernelek és hangszínszabályzók a kategorikus korlátok példái . Minden határfunktor közvetlenül szomszédos az átlós funktorral . Hasonlóképpen a kotermékek , a cokernelek és a koequalizerek kolimitok , és a kolimit függvény az átlós funktor bal oldali szomszédja.
Egy egység hozzáadása a pszeudogyűrűhöz (példa a "Motiváció" részből). Ha adunk egy R pszeudorozót , akkor a megfelelő gyűrű az R × Z szorzat , amelyen a Z -bilineáris szorzat az (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . A megszerkesztett funktort konjugálva hagyjuk egy felejtő funktorral, amely gyűrűt küld a megfelelő pszeudoráláshoz.
Gyűrűhosszabbítások. Legyenek R és S gyűrűk, és ρ : R → S gyűrűhomomorfizmus. Ekkor S egy (bal oldali) R -modulnak tekinthető, és az S tenzorszorzat F : R - Mod → S - Mod függvényt határoz meg . Itt F konjugált marad a felejtő G funktorral : S - Mod → R - Mod .
Tensor termékek . Ha R egy gyűrű és M egy jobb oldali R - modul, akkor az M tenzorszorzata egy F : R - Mod → Ab függvényt határoz meg . A G ( A ) = hom Z ( M , A ) függvényként definiált G : Ab → R - Mod függvény F jobb oldali konjugáltja .
Privát mező . Az integrálgyűrűk és injektív homomorfizmusok Dom m kategóriájához a Field → Dom m felejtős függvénynek van egy bal oldali adjunktusa, amely minden integrálgyűrűhöz társítja a hányadosmezőjét .
Polinom gyűrűk . A Ring * számára, a megkülönböztetett elemet tartalmazó kommutatív gyűrűk és a megkülönböztető elemet megőrző homomorfizmusok kategóriája, a G felejtős funktor: A gyűrű * → A gyűrűnek bal duálisa van — egy ( R [ x ], x ) párt társít R -hez [ x ] , ahol R [ x ] egy gyűrűs polinom R - ből származó együtthatókkal .
Abelizálás. A G : Ab → Grp feledékeny funktornak van egy bal oldali adjunktusa, az úgynevezett abelizációs funktor, amely minden G csoporthoz egy hányadoscsoportot rendel a kommutáns által : G ab = G /[ G , G ] .

Topológia példák

Funktor két konjugátummal. Legyen G olyan függvény, amely egy topológiai teret társít a támaszkészletéhez (azaz elfelejti a topológiát). G -nek van egy bal oldali duális F , amely a halmazokat diszkrét topológiával ruházza fel , és egy jobb duális H , amely a halmazokat triviális topológiával ruházza fel .
Felépítmény és hurokterek . Az X és Y topológiai terek ismeretében létrehozhatunk egy teret [ SX , Y ] a leképezések homotópiaosztályaiból az SX felfüggesztéséből Y -be . Természetesen izomorf az X - ből az Ω Y huroktérbe történő leképezések homotópiaosztályainak [ X , Ω Y ] terével , így a felfüggesztés és a huroktér függvények konjugáltak a topológiai terek homotópia kategóriájában.
A G : KHaus → A kompakt Hausdorff terek kategóriájának teteje a topológiai terek kategóriájába való beágyazásnak van egy F : Top → KHaus , a Stone-Cech tömörítés bal oldali adjunktusa . Ennek a párnak az egysége egy folytonos leképezést határoz meg egy tetszőleges X topológiai tértől a tömörítéséig. Ez a leképezés akkor és csak akkor beágyazás , ha X teljesen szabályos tér .

Tulajdonságok

Létezés

Nem minden G : C → D függvénynek van bal vagy jobb adjunktusa. Ha C egy teljes kategória , akkor Peter Freud adjunkt függvénytétele szerint G -nek akkor és csak akkor van baloldali adjunktusa, ha a D kategóriából bármelyik Y -hez létezik morfizmuscsalád:

f i : Y → G ( X i ) ,

ahol az indexek átfutnak a halmazon , úgy teszek , hogy bármilyen morfizmus:

h : Y → G ( X )

így írható:

h = G ( t ) o f i

néhány i az I -ben és néhány morfizmus:

t : X i → X C -ben .

Hasonló állítás jellemzi azokat a funktorokat, amelyeknek jobb adjunktusa van.

Egyediség

Ha egy F : C ← D függvénynek két jobboldali konjugátuma van G és G ′ , akkor G és G ′ természetesen izomorf .

Másrészt, ha F konjugált marad G -vel , és G természetesen izomorf G′-vel , akkor F is konjugált marad G′ - vel .

Összetétel

A konjugációs készítmények természetes módon is bevehetők. Ha 〈F , G , ε, η〉 konjugáció C és D között , és 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 konjugáció D és E között , akkor a funktor

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

bal konjugált a funktorhoz

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Olyan kategóriát alkothatunk, amelynek tárgyai mind kis kategóriák , és morfizmusai ragozások.

Ingázás korlátokkal

Az adjungált funktorok legfontosabb tulajdonsága a folytonosságuk: minden bal oldali adjunkttal rendelkező funktor (azaz jobb oldali adjoint) kategorikus értelemben korlátokkal ingázik. Ennek megfelelően egy jobb oldali adjungottal rendelkező funktor véges folytonos , azaz kolimitokkal ingázik . Mivel sok konstrukció korlát vagy kolimit, ebből számos következmény azonnal következik. Például:

A megfelelő adjunkt funkciót egy termékre alkalmazva képek szorzatát kapjuk.
Ha a bal oldali adjunkt funktort egy koprodukcióra alkalmazzuk, akkor a képek koszorzata jön létre.
Minden jobb konjugált és additív függvény az Abeli-kategóriák között balra pontos .
Minden bal oldali konjugált és additív függvény az Abeli-kategóriák között pontos .

Irodalom

McLane S. 4. fejezet Adjunkt funktorok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Kategorikus algebra kézikönyve 1. Alapvető kategóriaelmélet. — Matematikai enciklopédia és alkalmazásai. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Absztrakt és konkrét kategóriák. A macskák öröme (angol) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)