Pontos funktor

Az egzakt funktor olyan funktor , amely pontos sorozatokat képez le pontosakra. Az egzakt funktorok kényelmesek a homologikus algebra számításaihoz, mivel azonnal alkalmazhatók objektumrezolvensekre . A homológ algebra nagy részét úgy építették fel, hogy lehetővé tegyék a nem egzakt függvényekkel való munkát, de az egzaktoktól való eltérésük szabályozható.

Definíció

Legyen és legyen Abeli kategóriák és legyen additív funktor . Tekintsünk egy tetszőleges rövid pontos sorozatot : $P$ $K$ $F:P\to Q$

0\–A\–B\–C\–0

tárgyakat . $P$

Ha egy kovariáns függvény , akkor: $F$ $F$

félig pontos, ha pontos; ${\megjelenítési stílus F(A)\–F(B)\–F(C)}$
pontos a bal oldalon , ha pontos; $0\–F(A)\–F(B)\–F(C)$
pontos a jobb oldalon , ha pontos; $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$
pontos , ha pontos. $0\–F(A)\–F(B)\–F(C)\–0$

Ha egy kontravariáns függvény -tól -ig , akkor: $G$ $P$ $K$ $G$

félig pontos, ha pontos; $G(C)\to G(B)\to G(A)$
pontos a bal oldalon , ha pontos; $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$
pontos a jobb oldalon , ha pontos; $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$
pontos , ha pontos. $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$

Nem szükséges pontosan ezt a fajta sorozatot kezdőnek venni; például egy egzakt funktor definiálható olyan függvényként, amely az alak pontos sorozatait pontos sorozatokra képezi le. $A\to B\to C$

Van egy másik definíciója is az egzakt függvénynek: a kovariáns függvény akkor és csak akkor marad egzakt, ha véges határokat határértékekre képez le. Ha a "kovariáns" szót "kontravariáns"-ra vagy a "bal" szót "jobbra" cseréljük, egyidejűleg a "limits" szót "colimits"-re kell cserélni. Az egzakt funktor egy olyan funktor, amely balra és jobbra egzakt.

Példák

Az Abeli-kategóriák bármely ekvivalenciája pontos.
A bal oldali egzakt függvény legfontosabb példája a Hom . Ha egy tetszőleges Abel-kategória és az objektuma, akkor egy kovariáns additív függvény az Abel-csoportok kategóriájába [1] . Ez a függvény akkor és csak akkor pontos, ha projektív . Ennek megfelelően egy kontravariáns függvény akkor és csak akkor pontos, ha injektív . ${\mathcal {A}}$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ $A$
Ha egy jobb oldali modul , akkor a bal oldali modulok kategóriájából lehet definiálni egy funktort a tenzorszorzat használatával . Ez a funkció pontosan pontos; akkor és csak akkor pontos , ha lapos modul . $T$ $R$ $H_{T}$ $R$ ${\mathbf {Ab))$ $R:H_{T}(X)=T\otimes X$ $T$
Az előző két példa általánosítható: bármely adjungált additív függvénypárban a bal oldali adjunktus jobbra, a jobb oldali pedig balra egzakt.

Jegyzetek

↑ Jacobson, 2009 , 3.1. tétel, p. 98.

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Nathan Jacobson . Alap algebra. — 2. - Dover, 2009. - 2. kötet - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier , szerk. (1972). Séminaire de Géométrie Algebrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie etale des schémas – (SGA 4) – vol. 1. Jegyzet matematikából (francia nyelven) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0 .